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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Rang und die Dimension des Kerns der zugehörigen Abbildung
folgendes Matrix:

\( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & -3\\ 1 & -2 & 3 &1\\ 0 & 8 & -4 & -5 \end{pmatrix} \)
Problem/Ansatz:

Ich kann hier keine Nullzeilen finden. Heißt dass, dass Rang(A) = 4 ist? Und wie ist das mit der Dimension des Kerns?

:)

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Hast Du denn schon den Algorithmus von Gauss angewandt? Schreib doch mal Dein Ergebnis hierhin. Rang(A)=4 kann bei einer 3-zeiligen Matrix nicht auftreten, da muss Du Dich nochmal über die Definition von Rang informieren.

Gruß

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Aloha :)

Rechne die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren mittels elementarer Gauß-Spaltenoperationen heraus. Übrig bleibt dann eine minimale Anzahl von Vektoren, mit denen du jedes Ergebnis der Abbildung als Linearkombinationen darstellen kannst. Eine solche minimale Zusammenstellung von Vektoren ist eine sog. Basis.

$$\begin{array}{rrrr} & -2S_1 & -S_1 & +1,5S_1\\\hline2 & 4 & 2 & -3\\1 & -2 & 3 & 1\\0 & 8 & -4 & -5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & :\,(-4) &  & \\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & -4 & 2 & 2,5\\0 & 8 & -4 & -5\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} & & -2S_2 & -2,5S_2\\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 2 & 2,5\\0 & -2 & -4 & -5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & 0\end{array}$$

Wir haben also eine Basis, bestehend aus \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), gefunden. Sie enthält \(2\) Vektoren. Der Rang der Matrix (=Dimension des Bildes) ist daher gleich \(2\). Der Defekt der Matrix (=Dimension des Kerns) muss daher auch gleich \(4-2=2\) sein.

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