Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die (2,2)-Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -5 & 5 \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes von \( \mathbf{A} \).
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Kern}(\mathbf{A}))= \)
\( \operatorname{Dim}(\operatorname{Bild}(\mathbf{A}))= \)

Wie geht das?

Answer 1

Aloha :)

Die Bildvektoren \(\binom{b_1}{b_2}\) sind eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix:$$\binom{b_1}{b_2}=\begin{pmatrix}3 & 1\\-5 & 5\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}=x_1\binom{3}{-5}+x_2\binom{1}{5}$$

Da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, spannen die beiden Spaltenvektoren den Lösungsraum auf. Dieser hat 2 Dimensionen, da wir ja 2 Parameter \(x_1\) und \(x_2\) frei wählen können. Die Dimension des Bildraums ist daher gleich \(2\).

Da nur der Nullvektor selbst auf den Nullvektor abgebildet wird, ist im Kern nur der Koordinaten-Ursprung enthalten. Daher ist die Dimension des Kerns gleich \(0\).