Aufgabe:
A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \)
L(A): ℝ4 → ℝ3 Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von L(A), sowie mit Begründung die Dimension des Bildes von L(A).
Problem/Ansatz: Ich bin gerade etwas verwirrt, die Matrix A zeigt mir ja quasi meine Vektoren von L(A) im ℝ3 an.
Meine Überlegung ist, dass ich nun die Matrix nehme: Spalte 1 und 2 tausche und die dritte Zeile - die erste rechne. Danach rechne ich die 3 - 2 Zeile. Die Vektoren, die in Zeilenstufenform stehen, sind das Bild von L(A) und der Kern wäre: {\( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) } Eine Basis vom Kern wäre dann ja: \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)
Und die Dimension: dim(R3) = dim(bild(L(A)) + dim(kern(L(A)) → 3 = 2 + dim(kern(L(A)) → dim(kern(L(A)) = 3-2 = 1
\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
…
