Aloha :)
Rechne die linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren mittels elementarer Gauß-Spaltenoperationen heraus. Übrig bleibt dann eine minimale Anzahl von Vektoren, mit denen du jedes Ergebnis der Abbildung als Linearkombinationen darstellen kannst. Eine solche minimale Zusammenstellung von Vektoren ist eine sog. Basis.
$$\begin{array}{rrrr} & -2S_1 & -S_1 & +1,5S_1\\\hline2 & 4 & 2 & -3\\1 & -2 & 3 & 1\\0 & 8 & -4 & -5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} & :\,(-4) & & \\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & -4 & 2 & 2,5\\0 & 8 & -4 & -5\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrr} & & -2S_2 & -2,5S_2\\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 2 & 2,5\\0 & -2 & -4 & -5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrr} \vec b_1 & \vec b_2 & & \\\hline2 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & 0\end{array}$$
Wir haben also eine Basis, bestehend aus \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), gefunden. Sie enthält \(2\) Vektoren. Der Rang der Matrix (=Dimension des Bildes) ist daher gleich \(2\). Der Defekt der Matrix (=Dimension des Kerns) muss daher auch gleich \(4-2=2\) sein.
