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Die Formel von Poincaré ('Ein- und Ausschlussprinzip')
Sei \( n \geq 2 \) und sei \( \left(A_{i}\right)_{1 \leq i \leq n} \) eine Folge von Ereignissen. Dann gilt
\( \mathbb{P}\left(A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}\right)=\sum \limits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} \sum \limits_{\substack{\left(i_{1}, \ldots, i_{k}\right) \\ 1 \leq i_{1}<\ldots<i_{k} \leq n}} \mathbb{P}\left(A_{i_{1}} \cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right) \)
1) Beweisen Sie den Fall \( n=2 \) und \( n=3 \).
2) (*) Beweisen Sie (1) mit vollständiger Induktion für alle \( n \in \mathbb{N}^{*} \).
