Fünf Objekte in vier Fächern

Question

Aufgabe:

In einer Kirschtorte befinden sich fünf Kirschkerne. Die Torte wird in vier gleich große Stücke geschnitten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

(a) alle Kerne in einem Tortenstück sind.

(b) jedes Stück mindestens einen Kern enthält.

Problem/Ansatz:

… Wie genau berechne ich diese Aufgaben?

Answer 1

(a) vier mal die Wahrscheinlichhkeit, dass alle 5 Kerne in einem Viertel sind

(b) 1 minus vier mal die Wahrscheinlichkeit, dass ein Viertel keinen Kern enthält

Answer 2

Man könnte es mit den Formeln der Kombinatorik versuchen. Nimm einfach mal an du hättest 5  verschiedene Stifte und sollst diese auf 4 Blätter verteilen. Wie viele Möglichkeiten hattest du dafür insgesamt.

Und bei wie vielen dieser Verteilungen befinden sich alle Stifte danach auf einem einzigen Zettel?

Ich nehme an das schaffst du locker.

Als Nächstes zählst du dann noch die Möglichkeiten, die du hast, die 5 Stifte auf den Zetteln so zu platzieren, sodass auf jedem Zettel mind. ein Stift liegt.

Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace ist letztlich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten.

Comments

Hey,

zu dem zweiten Teil.

Ich versuche ja 5 Stifte auf 4 Zettel aufzuteilen, also wäre in dem Fall mein:

n=5 (Ich kann für den ersten Zettel 5 Stifte wählen)

k=4 (Ich muss für 4 Zettel wählen)

es ist ohne Wiederholen, da ich die Stifte ja nicht zurücknehme

es ist mit Beachtung der Reihenfolge

Also

Anzahl aller Mögl. = (n! / (n-k)!) = (5! / 1!) = 5

Das passt ja aber nicht.

Könntest du mir da noch einen Tipp geben was ich falsch mache?

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Überleg mal. Wählst du für jedes Blatt einen Stift oder für jeden Stift ein Blatt. Das ist schon ein Unterschied.

Und dann überleg nochmals, ob du bei der Auswahl etwas auch mehrfach auswählen kannst oder ob du etwas nur genau einmal auswählen kannst.

Ich hoffe du hast daheim 4 Blätter und 5 Stifte, sodass du es mal probieren kannst. Es ist immer ratsam mal zwei oder drei Anordnungen zu notieren wie es sein könnte.

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Ich habe jetzt noch einmal nachgedacht und Folgendes:

Ich verteile 5 Stifte auf 4 Zettel, die Reihenfolge ist wichtig, da ich auf jedem Zettel einen Stift zuordnen muss und es ist ohne Wdh. da ja jeder Stift nur auf einen Zettel sein kann.

Mit n=5 und k=4 und der Formel (5 über 4) x 4! Bekomme ich 120 Möglichkeiten.

Also für b) eine Wahrscheinlichkeit von:

P = \( \frac{AnzahlGünstiger}{AnzahlAller} \) = \( \frac{120}{1024} \) = ca. 0,1172

Passt das so? Finde dazu keine Hinweise, ob das nun korrekt ist.

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Zunächst mal ziehst du für jeden Stift einen Zettel auf dem er liegen soll.

D.h. die Ziehung 11111 bedeutet alle Stifte liegen auf dem ersten Blatt. Ziehung 11112 bedeutet die ersten 4 Stufte liegen auf Blatt 1 und der 5. Stift liegt auf Blatt 2.

Es gibt demzufolge 4^5 = Möglichkeiten die Stifte zu Platzieren. Wir gehen hier mal davon aus das alle Stifte unterscheidbar sind, weil das in der Kombinatorik einfacher ist.

Als Formel nutzt du hier n^k mit n = 4 und k = 5.

Jetzt überlegt nochmal, wie du den Zähler berechnest. Da habe ich einen größeren Wert heraus.

Schreibe dir dazu mal ein paar Ziehungen wie oben auf, sodass auf jedem Blatt ein Stift liegt. Das könnte dir helfen.

Meine Kontrollergebnisse

a) 1/256

b) 15/64

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Kriege es leider absolut nicht gebacken, auf die 240 Möglichkeiten zu kommen. Aber danke für die Erklärungsversuche.

Answer 3

Möglichkeiten:

5 -0-0-0

4-1-0-0

3-1-1-0

3-2-0-0

3-1-1-0

2-1-1-1

2-0-1-2

Du musst noch alle möglichen Reihenfolgen erfassen.

Summe = n

a) P= 4/n

b) 4/n