Zeigen Sie dass die Funktion bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass die Funktion $$f: \mathbb{R} \rightarrow (-1,1)$$ mit $$f(x)= \frac{x}{1+|x|}$$ bijektiv ist

Problem/Ansatz:

Ich würde einfach zeigen, dass eine Umkehrfunktion existiert

$$f(x)=\frac{x}{1+|x|}$$

$$y=\frac{x}{1+|x|}$$

$$y(1+|x|)=x$$

$$x=y+y|x|$$

$$x-y|x|=y$$

$$x(1-y)=y$$

$$x= \frac{y}{1-y}$$

$$f^{-1}= \frac{x}{1-x}$$

Aber iwie ist mit der Betrag abhanden gekommen

Answer 1

Beim Ausklammern von x musstest du (im Kopf)$\frac{|x|}{x}$ rechnen. Was ergibt denn das (fallweise)?

Answer 2

Zeige dass

        $f^+: [0,\infty)\to [0,1),\ x\mapsto f(x)$

und

      $f^-: (-\infty,0]\to (-1,0],\ x\mapsto f(x)$

bijektiv sind.