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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der Cosinus Hyperbolicus bijektiv von $$\mathbb{R_{>=0}}$$ nach $$[1,\infty)$$ abbildet und die Funktion cosh^-1 mit $$cosh^{-1}(x)=ln(x+ \sqrt{x^2-1})$$ die zugehörige Umkehrfunktion ist.


Problem/Ansatz:

Die Umkehrfunktion schaffe ich ja noch aber wie zeige ich dass es bijektiv ist?

Dafür muss ich ja zeigen dass es injektiv und surjektiv ist aber wie mache ich das?

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2 Antworten

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Die Umkehrfunktion schaffe ich ja noch ...

Ich vermute das hast du mit Äquivalenzumformungen gezeigt. Das heißt du hast gezeigt

        \(\cosh x = y \iff x = \ln\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\quad\forall\,x\in[0,\infty)\).

Daraus folgt Bijektivität automatisch.

Avatar von 107 k 🚀
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Die Ableitung von \(\cosh \) ist auf \((0,\infty)\) positiv. Damit ist die Funktion streng monoton wachsend auf \([0,\infty)\) und folglich injektiv.

Da \(\lim_{x\to\infty}\cosh x = \infty\), folgt mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, dass \(\cosh \) jeden Wert im Intervall \([1,\infty)\) annimmt, also surjektiv ist.

Avatar von 11 k

Kann ich das für den Tangens Hyperbolicus genauso argumentieren?


Zeigen Sie, dass der Tangens Hyperbolicus bijektiv von R_>=0 nach (-1,1) abbildet

Du kannst sehr ähnlich argumentieren.

Der einzige wesentliche Unterschied ist, dass \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\tanh (x) = -1\) und \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\tanh (x) = 1\).

Die Bijektion liegt aber für gesamt \(\mathbb R\) nach \((-1,1)\) vor.

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