Funktionsscharen gemeinsam Punkte

Question

Gegeben ist die Schar der in \( \mathbb{R} \) definierten Funktionen \( f_{r} \) mit

\(f_{r}(x)=-\frac{1}{r} \cdot x^{2}+\frac{4}{r} \cdot x+2\)

und \( r \in \mathbb{R}, r \neq 0 \).

...

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, durch die alle Kurven der Schar verlaufen.

Answer 1

\(f_{r}(x)=-\frac{1}{r} \cdot x^{2}+\frac{4}{r} \cdot x+2\)

\(-\frac{1}{r_1} \cdot x^{2}+\frac{4}{r_1} \cdot x+2=-\frac{1}{r_2} \cdot x^{2}+\frac{4}{r_2} \cdot x+2~~;~~~r_1\ne r_2\)

\(-\frac{1}{r_1} \cdot x^{2}+\frac{4}{r_1} \cdot x+\frac{1}{r_2} \cdot x^{2}-\frac{4}{r_2} \cdot x=0\)

\(x\cdot(-\frac{1}{r_1} \cdot x+\frac{4}{r_1} +\frac{1}{r_2} \cdot x-\frac{4}{r_2})=0\)

\(x=0\\ \text{ oder }\\-\frac{1}{r_1} \cdot x+\frac{4}{r_1} +\frac{1}{r_2} \cdot x-\frac{4}{r_2}=0~~~~|\cdot r_1r_2\)

\(-r_2x+4r_2+r_1x-4r_1=0\)

\(x(r_1-r_2)-4(r_1-r_2)=0\)

\(x(r_1-r_2)=4(r_1-r_2)~~~|:(r_1-r_2)  ;   r_1-r_2\ne0\)

\(x=0  \text{ oder } x=4\)

\(P_1(0|2)~~~;~~~P_2(4|2)\)

Answer 2

Zwei Scharkurven mit unterschiedlichem Parameter a, b gleichsetzen

- 1/a·x^2 + 4/a·x + 2 = - 1/b·x^2 + 4/b·x + 2

- 1/a·x^2 + 4/a·x = - 1/b·x^2 + 4/b·x

1/a·x^2 - 1/b·x^2 + 4/b·x - 4/a·x = 0

b·x^2 - a·x^2 + 4·a·x - 4·b·x = 0

(b - a)·x^2 - (b - a)·4·x = 0

x·(b - a)·x - x·(b - a)·4 = 0

x·(b - a)·(x - 4) = 0

da b - a ≠ 0 sind die Lösungen

x = 0 oder x = 4

fa(0) = 2 → (0 | 2)

fa(4) = 2 → (4 | 2)