Wie löst man Trigonometrische Gleichungen mit sinus/cosinus hyperbolicus zum Quadrat?

Question

Hallo zusammen!

Ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe: 20sinh²x+cosh²x=38.

Trigonometrie lag mir noch nie besonders, also bekomme ich das hier erst recht nicht hin. Leider lässt sich im Internet nicht viel hilfreiches zu solch speziellen Aufgaben finden. Die Deadline dieser Aufgabe ist der 7. Mai 2023, 23:00, und es ist mir sehr wichtig bis dahin die Aufgabe richtig abgegeben zu haben. Ich bin über jede Hilfestellung sehr dankbar.

LG

Answer 1

Hallo,

Eine Möglichkeit der Berechnung, ich habe es absichtlich so ausführlich geschrieben:

Bitte bei dem Ergebnis beachten, in welcher Form das Ergebnis eingegeben werden soll

(wieviele Stellen) oder das exakte Ergebnis !!

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Ich weiß es sehr zu schätzen, dass du es so ausführlich ausgeschrieben hast. Ich bedanke mich vielmals!

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Wäre ggT nicht durch die Überschrift dazu verleitet worden, den trigonometrischen Pythagoras mit dem hyperbolischen Pythagoras (heißt das so ?) zu verwechseln, wäre sein Ansatz deutlich schneller gewesen - wie du an dem Versuch, ihn durchzuführen ja selbst gesehen hast.

Es gelten die zwei Beziehungen
cos²x + sin²x = 1  und cosh²x - sinh²x = 1.

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2. Variante:

oder ± ar sinh \( \sqrt{\frac{37}{21}} \)

mit dem gleichen Ergebnis( Taschenrechner)

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@ Hj , das ist mir vollkommen klar !!!

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mit dem hyperbolischen Pythagoras

Gibt es also eine einfachere Methode diese Gleichung zu lösen?

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Ja , die 2. Variante ist einfacher, je nachdem, ob ihr den hyperbolischen Pythagoras behandelt habt?

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Wäre ggT nicht durch die Überschrift dazu verleitet worden, den trigonometrischen Pythagoras mit dem hyperbolischen Pythagoras (heißt das so ?) zu verwechseln,

Ich habe gar nichts verwechselt.

Es gibt beide.

mit dem hyperbolischen Pythagoras (heißt das so ?

Was, das wissen Sie nicht, wow, der Allwissende und alles immer besser Wissende!

Ertappt! Das weiß doch jeder Vollprofi und Begrifffetischist.

Ich bin schwerst enttäuscht. Der Mathe-Gott auch nur eine Apotheose, ein Göttlein.

Zum Nachlernen für den Foren-Paparazzi:

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@GL : Mein Beitrag war nicht gegen dich gerichtet, sondern er sollte ggTs Lösung wieder etwas aufwerten, nachdem ich sie heute morgen (zu Recht) so zerrissen hatte.

@ggT : Habe nur das Bild gesehen, aber nachdem die Formel aufgrund fehlender Klammern schon nicht stimmt verlasse ich mich auch nicht auf den Titel.

Answer 2

Etwas einfacher

20·SINH(x)^2 + COSH(x)^2 = 38

20·SINH(x)^2 + (1 + SINH(x)^2) = 38

21·SINH(x)^2 = 37

Subst. SINH(x)^2 = z

21·z = 37 

z = 37/21

Resubst

SINH(x)^2 = 37/21

x ≈ ± 1.095

Comments

sowas habe ich doch auch gerechnet ----> 2. Variante: bei mir

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Tschuldigung. Hatte mir nicht alle Kommentare durchgelesen.

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Du brauchst Dich nicht entschuldigen , dafür hast Du 7 Punkte mehr :-)

Answer 3

Ersetze cosh^2 durch 1- sinh^2 und substituiere mit z = sinh^2
Dann abc-Formel oder pq-Formel anwenden.

PS:

Die Formel brauchst du hier nicht, weil sinh nur als Potenz vorkommt.

Comments

Deine erste Zeile kann auch die Überschrift nicht entschuldigen, deine zweite Zeile habe ich hier bereits kommentiert.

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Danke für die Antwort!

Leider brauche ich trotzdem noch etwas Hilfe. Ich habe jetzt, wie du gesagt hast, cosh2 durch 1- sinh2 ersetzt, dann bekomme ich:

20sinh²x+1-sinh²x=38

Das würde ich dann vereinfachen zu:

19sinh²x=37

Substitution: sin²x = z

19z=37

Es ist ziemlich offensichtlich, dass das nicht stimmen kann, aber ich bin nicht sicher wieso. Ich bezweifle einfach mal, dass das Ergebnis 37/19 ist.

Nach der Substitution hätte ich nun bloß eine "Variable", die ich in die PQ/ABC-Formel einsetzen könnte, und das macht auch wieder nicht viel Sinn für mich. Kannst du mir sagen an welcher Stelle ich in die Falsche Richtung gegangen bin? Und eventuell das Ergebnis, falls es nicht zu viel ausmacht, damit ich es selbst versuchen kann, bis das Richtige herauskommt?

Danke nochmals für die Antwort.

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Sorry, die Formel brauchst du nicht.

Ich war unbewusst in Gedanken wo anders.

Man kann zusammenfassen, wie du es gemacht hast

und direkt lösen.

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Also ist das Ergebnis tatsächlich z1=37/19 und z2= -(37/19) ? Wie geht das dann mit der Re-Substitution?

Wäre super wenn mir das jemand bestätigen könnte, ich habe nur einen Versuch bei der Abgabe :)

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@K1717

Ersetze cosh^2 durch 1- sinh^2 

Das ist falsch!

Answer 4

Ersetze sinh(x) und cosh(x) durch die definierenden e-Funktionen, z.B. sinh(x)=\( \frac{e^x}{2} \) - \( \frac{1}{2e^x} \). Dann ist es keine Trigonometrie mehr.