Potenzreihen Sinus und Cosinus Hyperbolicus

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten wieder die Potenzreihen Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus,
\( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}, \quad \cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !} \)
für \( x \in \mathbb{R} \), mit Konvergenzradius \( \infty \).
(a) Bestimmen Sie die Ableitungen von \( \sinh \) und cosh.
(b) Zeigen Sie, dass sinh auf \( \mathbb{R} \) streng monoton wächst und dass \( \sinh (\mathbb{R})=\mathbb{R} \) gilt.
(c) Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktion Areasinus Hyperbolicus arsinh := \( \sinh ^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar ist und zeigen Sie arsinh \( ^{\prime}(y)=\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \) für \( y \in \mathbb{R} \).
(d) Zeigen Sie \( \operatorname{arsinh}(y)=\log \left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right) \) für \( y \in \mathbb{R} \).
Hinweis: Nützliche Eigenschaften dieser Funktionen haben wir bereits auf Übungsblatt 7 kennengelernt.

Comments

Zu (a): einfach gliedweise differenzieren !

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Wie gliedweise differenzieren? Das ist ja als Summenformel aufgebaut mit Fakultät im Nenner, wie gehe ich damit um?

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Indem du von den einzelnen Summanden die Ableitung bildest.

Answer 1

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !} \)

gliedweise differenziert gibt das

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(2k+1)x^{2 k}}{(2 k+1) !} \)

mit (2k+1) kürzen

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k) !}   = cosh(x) \)

Ebenso findest du als Abl. von cosh dann sinh.

b) Die Reihe bei cosh hat nur positive Summanden (gerader Exponent bei x),

also gilt immer cosh(x)>0, bzw. sinh ' (x) > 0.

Und Ableitung immer positiv heißt:  Funktion ist streng monoton wachsend.

Für c) würde ist erst Mal zeigen , dass die Funktion mit

f(x )  = cosh(x)^2  - sinh(x)^2 konstant ist, weil ihre Ableitung

wegen der Kettenregel 2cosh(x)sinh(x)  - 2sinh(x)*cosh(x)  = 0 ist.

Und f(0)=1, also gilt für alle x:  cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1.

arsinh ist differenzierbar wegen des Satzes über die Differenzierbarkeit

der Umkehrfunktion und dann ergibt arsinh( sinh(x)) = x

durch Ableiten beider Seiten arsinh'( sinh(x) ) * cosh(x) = 1

==>   arsinh '( sinh(x) ) ) = 1/ cosh(x)   #

Und wenn y=sinh(x) dann ist wegen   cosh(x)^2 - y^2 = 1,

                                             y^2 + 1 =   cosh(x)^2

also   cosh(x) = √(1+y^2)  also wird aus #

=>   arsinh ' (y) =  √(y^2 + 1)  .

Bei d) zeige, dass \( \log \left(y+\sqrt{y^{2}+1}\right) \) auch diese

Ableitung hat, und beide für y=0 übereinstimmen.