Taylorreihe des cosinus hyperbolicus

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text { Die hyperbolische Kosinusfunktion cosh: } \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \text { ist definiert durch } \cosh ( x ) = \frac { e ^ { x } + e ^ { - x } } { 2 } } \\ { \text { (i) Berechnen Sie die Taylorreihe von cosh um 0. } } \\ { \text { (ii) Geben Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihe an. } } \\ { \text { (iii) Finden Sie heraus, in welchem Bereich sie gegen cosh konvergiert. } } \end{array}$$

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist bisher, dass ich nicht mal einen Ansatz habe. Wäre über eine Lösung mit Erklärung echt froh.

Comments

"Mein Problem ist bisher, dass ich nicht mal einen Ansatz habe."

Verwende doch einfach die (hoffentlich) bekannte Potenzreihe von e^x.

Answer 1

Taylor um 0:        f(x)= f(0) + f ' (0) * x  +  f ' ' (0) * x^2 / 2!  +  f ' ' ' (0) * x^3 / 3! +

Hier ist  f(x) = cosh(x) also f ' (x) = sinh(x)  f ' ' (x) = cosh (x)    f ' ' ' (x) = sinh (x) etc.

also Taylor:       f(x)= 1 + 0 * x  +  1 * x^2 / 2!  +  0 * x^3 / 3! +
                       $$=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{ (2n)!}$$

Comments

Das hilft mir. :) Klingt logisch. Könntest du mir vielleicht bei den anderen beiden Aufgaben auch helfen oder einen Anreiz geben? Steige bei dem Thema irgendwie kaum durch. :(

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$$=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{ (2n)!}$$

Ersetze x^2 durch z dann hast du

$$=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{ (2n)!}$$

und erhältst den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium

gemäß https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Konvergenzradius

als Grenzwert von  a_n / a_n+1 also

$$\frac{\frac{1}{(2n)!}}{\frac{1}{(2(n+1))!}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!)}=(2n+1)*(2n+2)$$

und das hat den Grenzwert ∞.

Also hat die Potenzreihe mit dem z den Grenzwert ∞ und 
die mit dem x dann also auch.

Für x=0 liefert die Potenzreihe allerdings den Wert 0, aber

 $$ \cosh ( x ) = \frac { e ^ { x } + e ^ { - x } } { 2 }  $$

ergibt eine 1. Ansonsten stimmt es wohl überein.

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Großes Dankeschön, du hast mir noch mein Wochenende gerettet. :)