Differenzierung vom Cosinus hyperbolicus

Question

Ich habe als Funktion f(x) = cosh (x) und soll für die Ableitung dieser eine allgemeine Formel angeben. Also eine Formel, für

f^(k)(x). Ich weiß das bei der Ableitung sich cosh und sinh abwechseln. Wie schreibe ich das dann auf?

Comments

Ich muss das wissen, um die Taylorreihe bestimmen zu können.

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Meine Formelsammlung sagt:

\(\begin{aligned} \cosh(x) &= 2^{-1} (e^{-x}+e^{x}) \\\\ \cosh ^{k}(x) &= 2^{-k}\left(e^{-x}+e^{x}\right)^{k} \\\\ \frac{\partial}{\partial x}\left(\cosh ^{k}(x)\right) &= 2^{-k} k\left(e^{x}-e^{-x}\right)\left(e^{-x}+e^{x}\right)^{k-1} \\\\ &=k \sinh (x) \cosh ^{k-1}(x) \end{aligned}\)

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das kommt leider nicht ganz hin. Das ist ja die formel für cosh^k aber ich brauche nur die von cosh

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Wie wäre es dann mit k = 1 ?

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Würde auch nicht passen für k= 2 würde cosh x * sinh x rauskommen wobei nur cosh x rauskommen sollte für die zweite Ableitung

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Ich schrieb ja nichts über die zweite Ableitung. Vielleicht habe ich die Notation in Deiner Frage falsch verstanden.

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Achso, dann war das mein Fehler, es soll halt so aufgebaut sein: cosh x -> sinh x -> cosh x -> sinh x .... etc.

Answer 1

Nutze die Definition von cosh(x), die ja letztenlich auf \(e^x\) und \(e^{-x}\) beruht.

Und wie DIE abgeleitet werden weißt du doch, oder?

Comments

Ja natürlich weiß ich das, aber ich hab das schon versucht, ich komme trotzdem nicht auf eine allgemeine Formel.

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aber ich hab das schon versucht,

Da fehlt mir der Glaube. Bereits bei der zweiten, spätestens aber bei der dritten Ableitung ist die Bildungsvorschrift der weiteren Ableitung hundertprozentig klar.

Die einzige Entschuldigung für die wäre, dass du bereits bei der ersten Ableitung einen groben Fehler gemacht hast.

Vorschlag zur Güte: Zeige deine erste Ableitung.

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die erste ableitung ist doch einfach nur der Vorzeichen wechsel also:

 1/2(e^x+e^-x) --->  1/2(e^x-e^-x) , oder nicht ich hab dann versucht mit negativ 1 mit k als Exponent das irgendwie zu basteln aber es klappt nicht

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die erste ableitung ist doch einfach nur der Vorzeichen wechsel also:

1/2(ex+e^-x) --->  1/2(ex-e^-x) ,

Ja, die erste Ableitung ist richtig.

(Übrigens ist das per Definition sinh(x).)

Und wenn du sie erneut ableitest?

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ich Glaube ich hab es :

1/2(e^x+ (-1)^k*e^-x) so passt es doch oder nicht

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ich Glaube ich hab es :

1/2(ex+ (-1)k*e^-x) so passt es doch oder nicht

So würde ich das nicht stehen lassen. Bilde die zweite Ableitung ganz konkret (ohne "k").

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Warum nicht cosh⁽ⁿ⁾(x) = 1/2*( (1-cos(nπ))*sinh(x) + (1+cos(nπ))*cosh(x) )

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Die zweite Ableitung ist doch einfach cosh x wieder also 1/2(e^x+e^-x)

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Das Klappt ebenfalls anscheinend, aber wie kommt man darauf?

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Richtig. die zweite, vierte, sechste, ... Ableitung von cosh(x) ist wieder cosh(x).

und jetzt leite die erste Ableitung zweimal ab.

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Ja das wäre wieder sinh x

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Na, da hast du es doch.

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Ja aber das war mir doch die ganze zeit schon klar, ist das dann wie ich das aufgeschrieben habe okay so? oder wie Gast hj2166

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oder wie Gast hj2166

Ich glaube, er wollte hier besonders originell sein bzw. dich damit verarschen.

cos(nπ) ist abwechselnd -1 und +1, da hätte man auch (-1)^n lassen können.

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Ich verstehe, sehr nett. ich bedanke mich dennoch für ihre Hilfe, danke sehr.

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dich damit verarschen Nichts liegt mir ferner als Fragesteller nicht ernst zu nehmen !

Schon in der Fragestellung hieß es aber doch  Ich weiß das bei der Ableitung sich cosh und sinh abwechseln woraufhin stundenlang versucht wurde, dem Fragesteller die Ableitung von cosh x beizubringen mit dem Erfolg  das war mir doch die ganze zeit schon klar. Dem wollte ich etwas entgegensetzen, was den eigentlichen Kern der Frage betrifft.

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Keine sorge, ich hab das nicht negativ aufgenommen. Ich bin halt nicht das klügste Köpfchen ;D.