Kurvenintegral, Hyperbolicus, Sinh, Cosh

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Seil \( S \) der Länge \( l>0 \) sei zwischen \( x=-1 \) und \( x=1 \) aufgehangen, Die Seilannge und die Gravitation sorgen dafür, dass das Seil auf \( [-1,1] \) die Form \( y(x)=3 \) cosh \( \left(\frac{x}{3}\right) \) annimmt.
(1) Berechnen Sle dle Lange \( l=\quad \cdot \sinh \left(\frac{1}{3}\right) \).
Hinweis: \( \cosh (x):=\frac{e^{2}+e^{0}}{2} \) ist der Kosinus hyperbolicus und \( \sinh (x):=\frac{e^{2}-e^{*}}{2} \) ist der Sinus hyperbolicus. Vergewissern Sie sich, dass \( \cosh { }^{2}(x)=\sinh { }^{2}(x)+1 \) und \( \frac{d \text { ash }(x)}{d x}=\sinh (x) \) für ale \( x \in \mathbb{R} \) git.
(ii) Berechnen Sie für die Funktion \( f: \mathbb{R} \times] \mathbf{0}, \infty], f(x, y)=\frac{9 x^{2}}{y} \) das Integral uber die Kurve \( S \),
\( \int \limits_{S} f(x, y) \mathrm{d} s= \)

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich weiß leider einfach nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Vielen Dank an Alle, die mir helfen können!

Comments

Ganz ehrlich, das Original kann ich kaum lesen und was der Bot draus gemacht hat, kann ich daher nicht auf Richtigkeit prüfen...

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Ich weiß nicht wie ich die Frage nochmal bearbeiten kann, aber ich hoffe, dass ich hier eine größere Auflösung der Aufgabe habe:

Text erkannt:

Ein Seil \( S \) der Länge \( l>0 \) sei zwischen \( x=-1 \) und \( x=1 \) aufgehangen. Die Seillänge und die Gravitation sorgen dafür, dass das Seil auf \( [-1,1] \) die Form \( y(x)=3 \cosh \left(\frac{x}{3}\right) \) annimmt.
(i) Berechnen Sie die Länge \( l= \) \( \cdot \sinh \left(\frac{1}{3}\right) \)
Hinweis: \( \cosh (x):=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \) ist der Kosinus hyperbolicus und \( \sinh (x):=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \) ist der Sinus hyperbolicus. Vergewissern Sie sich, dass \( \cosh ^{2}(x)=\sinh ^{2}(x)+1 \) und \( \frac{\mathrm{d} \cosh (x)}{\mathrm{d} x}=\sinh (x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(ii) Berechnen Sie für die Funktion \( f: \mathbb{R} \times] 0, \infty], f(x, y)=\frac{9 x^{2}}{y} \) das Integral über die Kurve \( S \),
\( \int \limits_{S} f(x, y) \mathrm{d} s= \)

Answer 1

Aloha :)

Die infenitesimale Seillänge \(ds\) ergibt sich mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras direkt aus den infinitesimalen Änderungen \(dx\) und \(dy\) parallel zu den Koordinatenachsen:$$ds^2=dx^2+dy^2=\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)dx^2=\left(1+[y'(x)]^2\right)dx^2\implies ds=\sqrt{1+[y'(x)]^2}\,dx$$Damit können wir die Seillänge über folgendes Integral formulieren:$$\ell=\int\limits_Sds=\int\limits_{x=-1}^1\sqrt{1+\left[\left(3\cosh\frac x3\right)'\right]^2}dx\stackrel{(1)}{=}\int\limits_{x=-1}^1\sqrt{1+\sinh^2\frac x3}\,dx\stackrel{(2)}{=}\int\limits_{x=-1}^1\sqrt{\cosh^2\frac x3}\,dx$$$$\phantom{\ell}=\int\limits_{-1}^1\cosh\frac x3\,dx\stackrel{(3)}{=}\left[3\sinh\frac x3\right]_{x=-1}^1=3\left(\sinh\frac13-\sinh\left(-\frac13\right)\right)\stackrel{(4)}{=}6\cdot\sinh\frac13$$$$\blue{\text{zu (1)}\quad\cosh'x=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x}$$$$\blue{\text{zu (2)}\quad1+\sinh^2x=1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=\underbrace{\frac{4e^xe^{-x}}{4}}_{=1}+\frac{e^{2x}-2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}}{4}}$$$$\blue{\phantom{\text{zu (2)}}\quad=\frac{e^{2x}+2e^{x}e^{-x}+e^{-2x}}{4}=\frac{(e^x+e^{-x})^2}{4}=\cosh^2x}$$$$\blue{\text{zu (3)}\quad\sinh'x=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)}$$$$\blue{\text{zu (4)}\quad\sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-\sinh(x)}$$

Nun soll das Integral über \(f(x;y)=\frac{9x^2}{y}\) entlang dieser Kurve \(S\) berechnet werden.

Dazu formulieren einen Vektor \(\vec r\), der alle Punkte von \(S\) abtastet,$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{x}{3\cosh\frac x3}\quad;\quad x\in[-1;1]$$und schreiben das Wegintegral in Abhängigkeit von \(x\) um:$$I=\int\limits_Sf(x;y)\,dr=\int\limits_{x=-1}^1\frac{9x^2}{3\cosh\frac x3}\left\|\frac{d\vec r}{dx}\right\|\,dx=\int\limits_{x=-1}^1\frac{9x^2}{3\cosh\frac x3}\left\|\binom{1}{\sinh\frac x3}\right\|\,dx$$$$\phantom I=\int\limits_{x=-1}^1\frac{3x^2}{\cosh\frac x3}\sqrt{1+\sinh^2\frac x3}\,dx\stackrel{(2)}{=}\int\limits_{x=-1}^1\frac{3x^2}{\cosh\frac x3}\cdot\cosh\frac x3\,dx=\int\limits_{x=-1}^13x^2\,dx=2$$

Comments

Vielen Dank :)    Jetzt habe ich es besser verstanden.