Abbildung EaE zu BaB in R^3

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung \( { }_{E} \alpha_{E}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: x \mapsto A x \). Bestimmen Sie \( { }_{B} \alpha_{B} \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich da vor?

B: v1=( 0.5,1,1)T v2=(-2,-4,1)T V3=(-2,1,1)T

Kann mir jemand helfen?

Comments

Eine Aufgabe durch "Bearbeitung " ganz durch eine andere zu ersetzen ist sehr verwirrend  wenn die alte beantwortet wird.

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Zu der jetzigen version: Sollte nicht A gegeben sein?

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Ihr habt recht.

Ergänzung zur Aufgabenstellung:

Finden Sie jeweils einen Vektor \( v_{j} \neq 0 \), welcher \( \left(A-j E_{3}\right) v_{j}=0 \) für \( j \in\{1,2,3\} \) mit \( A=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}13 & -2 & -2 \\ -4 & 11 & -4 \\ -4 & 1 & 6\end{array}\right) \) erfüllt. Überprüfen Sie, dass \( B: v_{1}, v_{2}, v_{3} \) eine Basis bildet.

Answer 1

((13 - 5·y)·(11 - 5·y)·(6 - 5·y) + (60·y - 108))/125=(1 - y)·(y - 2)·(y - 3)

Comments

Das Ergebnis konnte ich mit einem Rechner ermitteln, aber der Rechenweg ist das Problem.

tatsächlich sind sie EW schon angegeben in der Aufgabenstellung.

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Entweder findet man die erste Nullstelle y₁ von ((13 - 5·y)·(11 - 5·y)·(6 - 5·y) + (60·y - 108))/125 mit Hilfe des Satzes von Cardano oder man rät sie (üblicherweise beginnt man mit dem Einsetzen von ±1, ±2) und dividiert dann durch den Linearfaktor, der zur ersten gefundenen Nullstelle gehört. Dann bleibt eine quadratische Gleichung zu lösen. Zu jeder Lösung gehört ein Linearfaktor.

Answer 2

Aloha :)

Bei der Fragestellung geht es ganz schön durcheinander.

Ich resümiere mal, was bei mir angekommen ist...

Es gibt eine Matrix$$A=\frac15\left(\begin{array}{rrr}13 & -2 & -2\\-4 & 11 & -4\\-4 & 1 & 6\end{array}\right)$$Von dieser kennst du die Eigenwerte$$\lambda_1=5\quad;\quad\lambda_2=10\quad;\quad\lambda_3=15$$und die zugehörigen Eigenvektoren:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$Diese \(3\) Vektoren spannen den \(\mathbb R^3\) auf und sollen als neue Basis \(B\) dienen.

Deine Frage ist nun, wie man die Matrix \(A={_E}A_E\), die Vektoren mit Komponenten bezüglich der Standardbasis \(E\) erwartet und liefert, in eine Matrix \(_{B}A_B\) transformiert, die Vektoren mit Komponenten bezüglich der neuen Basis \(B\) erwartet und liefert.

Dazu überlegst du dir, dass die Koordinaten der Vektoren \(\vec v_i\) der neuen Basis \(B\) ja in Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben sind. Du weißt also, wie die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\) aussieht:$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & -2\\2 & -4 & 1\\2 & 1 & 1\end{array}\right)$$Damit kannst du die gesuchte Matrix direkt ausrechnen:$${_B}A_B={_B}\mathbf{id}_E\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathbf{id}_B=\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}\cdot{_E}A_E\cdot{_E}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix}$$