Basiswechselmatrizen (mit Abbildung als Parameter)

Question

Aufgabe:

Ich habe mehrere Fragen:

Ich brauche eine Basiswechselmatrix (M_S,T) und habe die Basen S =  {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, T = {(0,0,1),(2,1,3),-1,0,-3)}

Ist M_S,T = \( \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -3 \end{pmatrix} \)  für t1 = 1*s1, t2 = 2*s1+1*s2+3*s3, t3 = (-1)*s1 + (-3)*s3

Oder ist M_S,T = \( \begin{pmatrix}  -3 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \) für s1 = (-3)*t1+(-1)*t3, s2 = 3*t1+1*t2+2*t3, s3 = 1*t1

Ich habe nämlich Aufzeichnungen bekommen, die angeblich richtig sind, wo aber die erste Version als Lösung steht, was meiner Meinung nach falsch ist.

Nächste Frage:

Wie ist es zu verstehen, wenn ich eine Matrix D_S,T(f) habe, wenn f(x,y,z) = (-x-z, x+3y, 2x+3y-2z) ist? Wie genau gehe ich hier vor. Wie finde ich heraus, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?

Answer 1

Aloha :)

Die erste Matrix ist \(M_{S,T}\). Die zweite Matrix ist \(M_{T,S}=M_{S,T}^{-1}\).

Beispiel dazu: Der zweite Basisvektor von \(T\) ist \((0,1,0)_T\) und er hat in \(S\) die Darstellung \((2,1,3)_S\). Wenn du die Matrix \(M_{S,T}\) rechts mit \((0,1,0)_T\) multiplizierst, bekommst du als Ergebnis \((2,1,3)_S\) heraus. Die Matrix \(M_{S,T}\) transformiert also von \(T\) nach \(S\).

Deine zweite Frage ist mir nicht genau klar. Du kanst die Funktion \(f\) in Matrixdarstellung schreiben

$$f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}-x+0y-z\\x+3y+0z\\2x+3y-2z\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & -1\\1 & 3 & 0\\2 & 3 &-2\end{array}\right)}_{=D_{S,S}}\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$und erhältst eine Darstellungsmatrix \(D_{S,S}\), die rechts Vektoren bezüglich der Standardbasis \(S\) erwartet und links Vektoren bezüglich der Standardbasis \(S\) liefert. Wenn rechts nun Vektoren multipliziert werden, deren Komponenten in der Basis \(T\) dargestellt sind, musst du diese erst nach \(S\) transformieren, bevor die Matrix \(D_{S,S}\) darauf wirken kann:

$$D_{S,T}=D_{S,S}\cdot M_{S,T}=\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & -1\\1 & 3 & 0\\2 & 3 &-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 2 & -1\\0 & 1 & 0\\1 & 3 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1 & -5 & 4\\0 & 5 & -1\\-2 & 1 &4\end{array}\right)$$Die Abbildung ist bijektiv, das die Determinante der Darstellungmatrix ungleich \(0\) ist (d.h. die Matrix ist invertierbar).

Comments

Ah ok, ich habe es jetzt glaube ich verstanden. Ich kann die Funktion f im Bezug zur Standardbasis darstellen. Würde ich jetzt sowas wie D_U,T haben wollen, so würde ich zur D_S,S  noch die Basiswechselmatrix M_U,S links multiplizieren und rechts wie du schon gemacht hast M_S,T multiplizieren. Also: D_U,T = M_U,S * D_S,S * M_S,T

Was mich verwirrt war, dass auf Mathepedia: https://mathepedia.de/Basiswechsel.html

steht, dass bspw. M_C,B so berechnet wird, dass man (1,3) = 1*(1,0)+3*(0,1) und (2,4) = 2*(1,0)+4*(0,1) rechnet und so herausbekommt: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) aber wir haben das ja jetzt andersherum gemacht. Ist die vorgehensweise dort falsch?

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Zu deiner ersten Frage: Ja, genau so "bewegt" man sich von einer Basis zu einer anderen. \(D_{U,T}=M_{U,S}\cdot D_{S,S}\cdot M_{S,T}\) erwartet ganz rechts einen Vektor mit Komponenten bezüglich der Basis \(T\). Dessen Komponenten werden durch \(M_{S,T}\) in Komponenten der Standardbasis \(S\) umgerechnet. Diese "passen" nun rechts in die Darstellungsmatrix \(D_{S,S}\) der Funktion. Diese liefert links das Ergebnis in Komponenten bezüglich der Standardbasis \(S\). Dessen Komponenten werden dann mit \(M_{U,S}\) in Komponenten bezüglich der Basis \(U\) umgerechnet.

Zu deiner zweiten Frage. In dem Artikel ist \(B\) die Standardbasis. Daher bekommst du die Matrix \(M_{B,C}\) wenn du die Komponenten der Basis \(C\) als Spalten in eine Matrix schreibst. [Da die Basis \(C\) ja erst noch definiert wird, muss man sich zur Angabe der Basisvektoren von \(C\) auf die Standardbasis beziehen, man hat ja noch keine andere.] Die Matrix \(M_{C,B}\) ist dann die Inverse von \(M_{B,C}\).