Untersuchen Sie Basiswechselmatrizen

Question

Aufgabe:

Seien B, C zwei geordnete Basen von Kⁿ und seien B^∗, C^∗ die entsprechenden dualen Basen. Untersuchen Sie, wie die Basiswechselmatrix TB→C mit der Basiswechselmatrix TB^∗→C^∗ zusammenhangt.

Problem/Ansatz:

Was muss ich bei solch einer Fragestellung genau machen?

Comments

Wie habt Ihr die duale Basis definiert?

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Wie habt Ihr die duale Basis definiert?

Nachfrage: Kein Interesse an der Lösung?

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Sorry hab keine Nachricht ueber den Kommentar bekommen.

Ist V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und B = (b1, . . . , bm) eine geordnete
Basis von V , so ist das Tupel B∗ = (b∗1, . . . , b∗m) mit b∗1, . . . , b∗m ∈ V∗ definiert durch

b∗i(bj ) = {1 falls i = j oder 0 sonst

(weis leider nicht wie ich das besser darstelle, hab auch keine delta gefunden fuer das Kronecker delta)

eine geordnete Basis von V∗ (Man nennt B∗ die zu B duale Basis).

Answer 1

Hallo,

um mir die Sterne zu sparen bezeichne ich die duale Basis zu (b_i) mit (f_i) und zu (c_i ) mit (g_i). Wir gehen also von der Basiswechselmatrix T aus und suchen S mit:

$$b_i=\sum_{j=1}^nT_{ji}c_j \qquad \qquad f_i=\sum_{j=1}^nS_{ji}g_j$$

Wir gehen aus von (i,k=1,...,n)

$$\delta_{ik}=f_i(b_k)=\sum_{j=1}^nS_{ji}g_j(b_k)=\sum_{j=1}^nS_{ji}g_j(\sum_{l=1}^nT_{lk}c_l)$$

$$=\sum_{j=1}^nS_{ji}\sum_{l=1}^nT_{lk}g_j(c_l)=\sum_{j=1}^nS_{ji}\sum_{l=1}^nT_{lk}\delta_{jl}= \sum_{j=1}^nS_{ji}T_{jk}$$

Diese n^2 Gleichungen sagen, dass die Inverse von T folgende Einträge hat: \(\left(T^{-1}\right)_{ij}=S_{ji}\), zusammengefasst: \(T^{-1}=S^T\).

Gruß Mathhilf