Bestimme die Basiswechselmatrizen M(B^(3),B) und M(B,B^(3))

Question

Aufgabe:

Gegeben Sei die Standardbasis B^(3) und eine weitere Basis B ((1,0,2),(2,1,1),(1,1,0)

Bestimme die Basiswechselmatrizen M(B^(3),B) und M(B,B^(3))

Problem/Ansatz:

also ich hatte ein ähnliches Beispiel mit B^(2) und A((1,-1),(1,-2)) da war M(B^(2),A)=

1	1
-1	-2

also müsste

(B^(3),B) doch=

1	2	1
0	1	1
2	1	0

Ich weiss nicht ob das stimmt, könnte mir bitte jemand helfen, danke :)

Comments

Die Bezeichnungem für Basiswechselmatrizen sind nicht einheitlich. Wenn Du sicher sein willst, musst Du Eure Definition für M(B_1,B_2) nachschlagen.

Answer 1

Aloha :)

Die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) sind relativ zur Standardbasis \(S\) angegeben, denn eine andere Basis ist bei der Definition der Vektoren von \(B\) ja noch nicht bekannt. Daher weißt du, wie die Basisvektoren von \(B\) in der Standardbasis \(S\) aussehen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}_S\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}_S\quad;\quad\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}_S$$

Damit ist auch die Basiswechsel-Matrix von \(B\) nach \(S\) bekannt:$${_S}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 1 & 1\\2 & 1 & 0\end{pmatrix}$$In die umgekehrte Richtung, also vion \(S\) nach \(B\) geht es mit der Inversen Matrix:$${_B}\mathbf{id}_S=\left({_S}\mathbf{id}_B\right)^{-1}$$

Die Freude am Ausrechnen der inversen Matrix möchte ich dir nicht nehmen... ;)

Comments

„Die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) sind relativ zur Standardbasis \(S\) angegeben“ könntest du mir das vielleicht nochmal erklären, irgendwie verstehe ich das nicht. Warum ist die Basis B Relativ zu S angegeben?, bzw warum setzt man die Zeilen gleich den Vektoren?

Danke :)