Wie löst man die Summe einfach?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie (auf eine intelligente Art):
\( \sum \limits_{i=1}^{1001}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right) \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären, wie man diese Summe einfach löst? Hab mir mal den Graphen der Funktion in der Summe angeschaut und es scheint so als würde ungefähr 1 rauskommen, wüsste aber nicht wie ich das rechnerisch beweisen soll.

Comments

Es handelt sich um eine Teleskopsumme. Nur der erste und der letzte Summand bleiben übrig, also \(\,\large\frac11-\frac1{1002}\).

Answer 1

Schreib doch einfach mal die ersten drei und die letzten 2 Summanden auf. Dann sollte das klar sein

(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/1000 - 1/1001) + (1/1001 - 1/1002)

Jetzt siehst du das du wohl zusammenfassen kannst

(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3 ) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/1000 - 1/1001) + (1/1001 - 1/1002)

1/1 - 1/1002

1001/1002