Wie löst man folgende Summenaufgabe?

Question

Aufgabe:

Wie löst man diese Aufgabe? Ich habe keine Ahnung.

a) \( \sum \limits_{n=1}^{13} \frac{1}{2^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich dachte, dass man das ganz einfach aufsummieren kann. Aber der Professor kommt auf diese komische Lösung. Ich kann die gar nicht nachvollziehen.

a) \( \sum \limits_{n=1}^{13} \frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{13}} \)

Answer 1

Das ist die Summe einer endlichen geometrischen Reihe mit q=1/2. Da ist normalerweise der erste Summand q^0 = 1. Da er fehlt, wird die Summenformel für q^0 + q^1 + q^2 + ... +q^13 verwendet und der fehlende Summand 1 subtrahiert.

Das Ergebnis ist somit \( \frac{1-0,5^{14}}{1-0,5}-1 \).

Comments

Wie meinst du das er fehlt. Also wie muss man solche Aufgaben genau lösen.

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Wieso hast du jetzt ein anderes Ergebnis als der Professor. Bei ihm ist eine Potenz und bei dir sind Differenzen im Bruch.

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Es gilt 1+q+q^2+q^3+...+q^n=\( \frac{1_q^{n+1}}{1-q} \).

Diese Formel geht also davon aus, dass der erste Summand 1 ist und nicht q.

In q^1 + q^2 + ... +q^13 ist der erste Summand NICHT 1, sondern q.

Um die obige Summenformel trotzdem anwenden zu können schreibt man

q^1 + q^2 + ... +q^13 als

(1+ q^1 + q^2 + ... +q^13) -1.

Wieso hast du jetzt ein anderes Ergebnis als der Professor. Bei ihm ist eine Potenz und bei dir sind Differenzen im Bruch.

Dann lerne Subtraktion und Bruchrechnung

Statt 1-0,5 kannst du im Nenner 0,5 schreiben. Dann kannst du den Bruch mit 2 erweitern... Letztendlich ist mein Ergebnis mit dem des Profs identisch.

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Habs verstanden. Danke.