Wie löst man folgende Summenaufgabe (geometrische Reihe)?

Question

Ich habe folgende Textaufgabe gegeben:

Ein Bauer hat sich vorgenommen mit seinen neuen Kühen insgesamt 5000 Liter Milch herzustellen und abzusetzen. Hierzu werden monatlich Teilmengen hergestellt und verkauft. Aufgrund des erwarteten zunehmenden Bekanntheitsgrades soll jeden Monat 10% mehr als im Vormonat hergestellt werden. Im ersten Monat werden 100 Liter Milch hergestellt.

a.) Welche Menge wird im 10. Monat hergestellt?

Diese Frage habe ich bereits gelöst mit der Formel der geometrischen Reihe S10= (100*(1+0,1)^10)/(1+0,1) = 235,795 Liter.

b.) Wie viele Liter Milch werden im ersten Jahr hergestellt?

Wieso kann ich hier nicht einfach S12= (100*(1+0,1)^12)/(1+0,1) machen? Das Ergebnis soll 2138,43 Liter sein. Wie kommen die auf diese Summe?

Danke euch schon Mal ! :)

Answer 1

Du hast die Formel für die Herstellung der Milchmenge \(s_k\) im \(k\)'ten Monat richtig angegeben mit

$$s_k = 100 \text{l} \cdot \frac{(1+0,1)^k}{1+0,1} = 100 \text{l} \cdot (1,1)^{k-1}$$

Wenn nach der Milchproduktion des ganzen Jahres gefragt ist, musst Du alle 12 Monate zusammen zählen und nicht nur den 12.Monat betrachten. Es ist \(S_k\) die Summe aller Monate von \(1\) bis \(k\) - also:

$$S_k = \sum_{i=1}^k s_i = \sum_{i=1}^k 100 \text{l} \cdot (1,1)^{i-1} = 100 \text{l} \sum_{i=0}^{k-1} 1,1^i = 100 \text{l} \frac{1-1,1^k}{1-1,1}$$

$$S_{12} = 100 \text{l} \frac{1,1^{12} - 1}{1,1-1} \approx 2138,4 \text{l}$$ siehe geometrische Reihe.

Comments

Dankeschön war sehr hilfreich deine Erklärung ! :) Habs verstanden

Answer 2

  a) halte ich schon für Falsch; du hast ja keine Reihe.

   M_10  =  100  *  1.1  ^  9      (  1  )

   Zu b) Komische Formel hast du da; schau nochmal in den Bronstein. Die geht mit Minus und nicht mit Plus:

                       1.1  ^  12  -  1

    G_12  =   ----------------------------  =  10  (  1.1  ^  12  -  1  )   (  2  )                             .1

   Mir würde ja schon langen, wenn ihr alle lernt:  Periodische Dezibrüche sind Georeihen.

Comments

Deine zweite Formel ist falsch. Ich denke statt 10 hast du 100 gemeint, und selbst dann kommt nicht das richtige Ergebnis raus. Ich bekomme dann 285,312 raus. Es soll ja aber 2138 Liter rauskommen.

Answer 3

10% mehr bedeuten q=1,1

 100(q¹²-1)/q-1)≈2138.43 Der erste Monat hat die Nr. 0, der 12. Monat hat die Nr. 11. Also ist n=11. Formel für die Summe einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a₀, dem Faktor q und n Gliedern: a₀(qⁿ⁺¹-1)/(q-1).