Geometrische Summe umformen bzw. Alternative und Zusammenhang

Question

Hallo Mathegemeinde,

ich versuche gerade, mir einen sicheren Umgang mit Summen anzueignen.

Nun stehe ich vor der Formel für die geometrische Summe und zusätzlich vor einer weiteren Formel,

welche häufig gebraucht werden.

Meine Frage ist, wie die Umformung zusammenhängt. Dies sind ja verschiedene Summen, die nicht durch einen Indexshift zustande gekommen sind. Kann man sich trotzdem erklären, wieso bei der gelb markierten Formel mit der Grenze k-1 in der Umformung der Summe dann nur noch q^k steht?

Außerdem verstehe ich nicht, wieso man bei beiden Formeln im zweiten Gleichungsschritt jeweils die 1 mit dem q^k bzw. dem q^(k+1) tauschen kann.

Ich würde mich sehr über eine Klärung meiner Verwirrung freuen ... Vielen Dank!

Comments

In der ersten Formel hast du im Nenner q^(k-1+1) = q^k

Im zweiten Schritt klammerst du oben und unten -1 aus und kürzt dann

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heißt, würde die Grenze beispielsweise bis k-3 gehen, hätten wir im Nenner q^(k-3+1) = q^(k-2) ?

Also nochmal die Frage, das sind einfach andere Formeln und kein Indexshift richtig? Weil i=0 als Startwert ja bleibt richtig?

Den zweiten Schritt habe ich verstanden, vielen Dank!!

Answer 1

Also setzten wir voraus das gilt $$ \sum_{i=0}^{k-1} q^i = \frac{1-q^k}{1-q}  $$ für alle \( k \). Dann folgt doch die zweite Formel, indem man \( k' = k+1 \) setzt . Es folgt

$$ \sum_{i=0}^{k} q^i = \sum_{i=0}^{k'-1} q^i = \frac{1-q^{k'}}{1-q} = \frac{1-q^{ k+1}}{1-q} $$

Wie JohnTanner schon gesagt hat, den letzten Term mit \( -1 \) erweitern ergibt den Rest Deiner Frage.

Comments

Vielen Dank ullim.

Ich glaube, das verstehe ich. Aber dann ist es quasi doch die selbe Formel?

Wie kann das sein, obwohl es nicht mit dem Indexshift gemacht worden ist, oder etwa doch? Das verwirrt mich noch etwas.

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Die Gültigkeit der ersten Formel beweist man Induktion. Der Rest folgt wie beschrieben.

Oder man beweist die zweite Formel ebenfalls induktiv. Es gilt

$$ \sum_{i=0}^k = \frac{1-q^k}{1-q} + q^k = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}  $$

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Danke. Kannst du mir nochmal klar beantworten ob die Formeln äquivalent sind oder nicht?

Ich habe beide Formeln mit Zahlen eingesetzt und festgestellt das sie nicht identisch sind, ist das korrekt?

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Die Formeln sind natürlich nicht äquivalent. Einmal summierst Du bis \( k - 1\) und einmal bis \( k \). Da kommt ja aufjeden Fall was anderes raus, siehe meine obige Formel. Der Unterschied der beiden Formelergebnisse beträgt \( q^k \). Überprüfe das mal anhand Deiner Ergebnisse.

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Jetzt hat es Klick gemacht, ich danke dir!

Answer 2

Aloha :)

Das geht mit Indexshift, aber nach unten:$$\sum\limits_{i=0}^kq^i=q^0+\sum\limits_{i=1}^kq^i=1+\sum\limits_{i=0}^{k-1}q^{i+1}=1+q\cdot\sum\limits_{i=0}^{k-1}q^{i}=1+q\cdot\frac{q^k-1}{q-1}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=0}^kq^i}=\frac{q-1}{q-1}+\frac{q^{k+1}-q}{q-1}=\frac{q^{k+1}-1}{q-1}$$