Summe auflösen bzw irgendwas nach vorne ziehen

Question

Hallo liebe Mathelounge-Gemeinde,

ich habe das Problem, dass ich folgende Umformungsschritte überhaupt nicht nachvollziehen kann.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand erklären könnte, was da mit der Summe passiert und wieso

man das Summenzeichen dann einfach weglassen darf und wo das 1/2*.. und nachher diese Fakultät herkommt.

:)

≤ ∑_i=1^[n/2] (log(n)-log(i))

≤ 1/2*n*log(n)- ∑_i=1^[n/2] log(i)

≤ 1/2*n*log(n) - log((n/2)!)

woei [] hier Abrunden heißen soll.

Comments

Sollen <= Ungleichheitszeichen sein? D.h. ≤ ?

HIer ist zu viel hochgestellt: <= ∑_(i=1)^{([n/2] (log(n)-log(i)))} oder?

---

ja genau, dass soll ≤ sein.

Und ja das ist mir gar nicht aufgefallen. Eigentlich sollte es

∑_i=1^[n/2] (log(n)-log(i)) sein.

---

Ich habe das oben mal etwas korrigiert. Besser so?

Answer 1

 

\(\sum\limits_{i=1}^{⌊\frac { n }{ 2 }⌋}(log(n)-log(i)) =\color{green}{\sum\limits_{i=1}^{⌊\frac { n }{ 2 }⌋}log(n)}-\sum\limits_{i=1}^{⌊\frac { n }{ 2 }⌋} log(i)\color{green}{=⌊\frac { n }{ 2 }⌋·log(n)}-\sum\limits_{i=1}^{⌊\frac { n }{ 2 }⌋}log(i)\)

\(\color{green}{≤\frac { n }{ 2 }·log(n)}-\color{blue}{\sum\limits_{i=1}^{⌊\frac { n }{ 2 }⌋}log(i)}=\frac { n }{ 2 }·log(n)-\color{blue}{log(⌊\frac { n }{ 2 }⌋!)}\)

Beachte:   \(\sum\limits_{k=1}^{m} log(k) = log(m!) \)

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel#Grundlegendes      (Einmal  pg-down)

Gruß Wolfgang