Wie berechnet man diese Summe? sum n=3 bis m 1/(2*(n-2)-1/(2n)

Question

sum_(n=3)^m 1/(n (n-2)) = (3 m^2-7 m+2)/(4 (m-1) m)

diese Lösung spuckt Wolfram aus, aber wie kommt man darauf?

Answer 1

mache eine Partialbruchzerlegung des Summanden:

1/(n*(n-2)=1/(2*(n-2)-1/(2n)

Jetzt hast du eine Teleskopsumme dastehen:

sum n=3 bis m 1/(2*(n-2)-1/(2n)= -1/(2m)-1/(2(m-1))+1/2+1/4

= -1/(2m)-1/(2(m-1))+3/4

1/2+1/4 sind die beiden Terme des ersten Summanden, die anderen beiden Terme kommen vom 2ten Summanden.

Das Endergebnis kann man nun mithilfe des Hauptnenners in die von Wolfram ausgegebene Form bringen.

Answer 2

Es  ist   1 / ( n*(n-2)) 

=   0,5 / ( n-2 )  -     0,5 / n  

also ist die Summe eine Teleskopsumme

∑ n=3 bis m über 1 / ( n*(n-2)) 

=  ∑ n=3 bis m über  ( 0,5 / ( n-2 )  -     0,5 / n   )

= ∑ n=3 bis m über   0,5 / ( n-2 )    -     ∑ n=3 bis m über       0,5 / n  

= ( 0,5 / 1   +  0,5/ 2  + 0,5 / 3 + ..... +  0,5 / (m-2)  )

- (    0,5/3  + 0,5 / 4  + ......  + 0,5 / (m-2) + 0,5 / (m-1 ) + 0,5 / m

Bis auf die ersten zwei Summanden der ersten und die

letzten zwei  der 2. Summe heben sich alle auf, also

= 0,5 / 1   +  0,5/ 2  - 0,5 / (m-1 ) -  0,5 / m

alles mit 2 erweitern

= 1/2  +  1/4  - 1/((2(m-1) )   -  1/ (2m)

Hauptnenner ist  4m(m-1) also

=(    2m(m-1) +  m*(m-1)   - 2m    - 2(m+1)   )  /   (  4m(m-1) )

= ( 3m^2 - 7m + 2 )  /    (  4m(m-1) )

q.e.d.