Summenzeichen. Brauche Hilfe bei der Indexverschiebung

Question

Kann mir jemand verraten wie man von der 3. bis zur nächsten Zeile kommt?

Answer 1

Da wurde bei der ersten Summe der erste Summand 1/1 vor das Summenzeichen geschrieben und bei der 2. Summe der letzte Summand 1/(n+1) hinter das Summenzeichen.

Diese Summe solltest du dir merken. Es ist eine sogenannte Teleskopsumme. https://www.mathelounge.de/suche?q=teleskopsumme Die kommen immer wieder mal vor in Aufgaben. Du findest unter diesem Begriff über die Suche aber immer etwa die gleichen paar Beispiele.

Answer 2

∑ (k = 1 bis n) (1/k) = ∑ (k = 1 bis 1) (1/k) + ∑ ( k = 2 bis n) (1/k) = 1 + ∑ (2 bis n) (1/k)

∑ (k = 2 bis n+1) (1/k) = ∑ (k = 2 bis n) (1/k) + ∑ (k = n+1 bis n+1) (1/k) = ∑ (k = 2 bis n) (1/k) + 1/(n+1)

∑ (k = 1 bis n) (1/k) - ∑ (k = 2 bis n+1) (1/k)

1 + ∑ (2 bis n) (1/k) - (∑ (k = 2 bis n) (1/k) + 1/(n+1))

1 + ∑ (2 bis n) (1/k) - ∑ (k = 2 bis n) (1/k) - 1/(n+1)

1 - 1/(n+1)