Summe von (1/(i^2-1)) vereinfachen / umformen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden rationalen Zahlen (jeweils Zähler und Nenner des Bruches explizit ausweisen) in Abhängigkeit von n ∈ ℕ \ {0/1}:

\( C_{n}=\sum \limits_{i=2}^{n}\left(\frac{1}{i^{2}-1}\right) \)

Answer 1

Gesucht ist \(C_n\) in Abhängigkeit von \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}\). Schreiben wir uns ein paar Summanden explizit auf, so stellen wir fest, dass $$C_n=\sum_{i=2}^{n}{\dfrac{1}{i^2-1}}=\dfrac{3n^2-n-2}{4n^2+4n}$$ mit Zähler \(3n^2-n-2\) und Nenner \(4n^2+4n\). Die Zahlen erhältst Du durch Einsetzen der Werte für \(n\). Die Einschränkung am Anfang des Aufgabentextes wird mit Betrachten der Lösung hoffentlich klar.