Lineare Abbildung und Basiswechselmatrix

Question

Aufgabe:

Sei P(X) = \( \sum\limits_{k=0}^{5}{a_k x^k} \) ∈ Pol₅ℝ

Sei f: Pol₄ℝ → Pol₉ℝ, f(a(X)) ↦ P(X)a(X) und es sei zu Pol_kℝ die Basis B_k = {X^s : s=0,...,k} für alle k gegeben.

Berechne _B9f_B4 und verwende das Ergebnis, um das Polynom

g(x) = (2X^4 - X^3 + 3X^2 +X-5) (-X^5 +4X^4+3X^3-5X^2-5X+10)

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal bewiesen, dass f lineare Abbildung ist. Dann habe ich durch ausprobieren _B9f_B4 gerechnet aber durch ausprobieren:

_B9f_{B4 = \( \begin{pmatrix} a0 & 0 & 0  & 0 & 0 \\ a1 & a0 & 0  & 0 & 0 \\ a2 & a1 & a0  & 0 & 0 \\ a3 & a2 & a1 & a0 & 0 \\ a4 & a3 & a2 & a1 & a0 \\ a5 & a4 & a3 & a2 & a1 \\ 0 & a5 & a4 & a3 & a2 \\ 0 & 0 & a5 & a4 & a3 \\ 0 & 0 & 0 & a5 & a4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a5  \end{pmatrix} \)}

_{Stimmt das? wenn ja, wie kann man diese Matrix mathematisch rechnen also nicht durch ausprobieren? Vielen Dank :)}

Answer 1

Stimmt das? Ja  !

Denn:  In der k-ten Spalte stehen die Koeffizienten zur Darstellung des

Bildes vom k-ten Basisvektor mit der Basis im Bildraum.

Also für die 1. Spalte brauchst du

f( x^0 ) = f(1) = P(X) *1 , also in der 1. Spalte oben a0 ... a5 .

           = \( \sum\limits_{k=0}^{5}{a_k x^k} \)

, also in der 1. Spalte oben a0 ... a5  denn

x^0 , x^1 , x^2 , ... x^9 sind die Basisvektoren von B9.

Entsprechend bei dem Bild von x^k sind a0 ... a5

weiter nach unten verschoben.

Und g(x) kannst du ja bestimmen, indem du

a0=10  a1=-5   a2=-5  etc. in die Matrix einsetzt und dann

\(_{B9}f_{B4}\cdot =  \begin{pmatrix} -5 \\1 \\3\\1 \\ 2 \end{pmatrix} \) ausrechnest .