Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix

Question

Aufgabe:

a) Seien h : Π₂(R) → Π₂(R), p → 2p′′ + p′ und V, W Basen des Π₂(R) mit
V := (1, t, t²) und W := (1 + t + t², 1 + t − t², 1 − t − t²)

i. Geben Sie die darstellende Matrix A^V_V von h bezüglich der Basis V an.
ii. Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix B^W_V
iii. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung A^WV von h bezüglich der Basen V und W.

b) Seien V, W zwei K-Vektorräume, w ∈ W und g: V → W eine Abbildung mit g(v) = w fur alle v ∈ V.

Beweisen Sie die folgende Aussage: g ist linear ⇔ w = 0

Problem/Ansatz:

Wie komm ich denn nun auf das Ergebnis?
Ich dachte vielleicht V in g einsetzen.

Dann hab ich

g(1) = 2(0) + 0 = 0

g(t) = 2(0) + 1 = 1

g(t²) = 2(2) + 2t = 4 + 2t

Wie komm ich denn nun weiter?

Bei b, weiß ich leider auch nicht weiter...

Answer 1

b)  g ist linear

==> w = g(0) =  g(0+0) = g(0)+g(0) = w + w

Also w = w+w bzw . 1*w = (1+1)*w

Wäre w ≠ 0, dann wäre 1=1+1 in K. Über K ist nichts gesagt, aber

wenn char(K)≠2 vorausgesetzt ist, dann ist das ein Widerspruch,

also wäre w=0 .

Umgekehrt: w=0

==>  Für alle u,v ∈ V gilt  g(u+v) = 0 = 0 + 0 = g(u) + g(v), also

g additiv.

Außerdem für alle x∈K und v ∈ V g(x*v) = 0 = x*0 = x*g(v) ,

also g auch homogen.

Insgesamt also w=0 ==>  g linear.