Basiswechselmatrix berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Basiswechselmatrix S_e,B mit e = Kanonische Basis des R² und B = {(2,0)^T , (1, -1)^T }

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist hauptsächlich folgendes: bedeutet S_e,B ,dass von e nach B wechsel, oder von B nach e?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo Felix,

Mein Problem ist hauptsächlich folgendes: bedeutet Se,B ,dass von e nach B Wechsel, oder von B nach e?

das ist nicht nur Dein Problem, sondern in der Praxis der Koordinatentransformationen das größte aller Probleme! Um es kurz zu machen: es ist reine Definitionssache! D.h. man kann es so oder so herum definieren. Also schau in Deinem Script nach, wie es Dein Dozent definiert hat.

Wenn eine Basis gegeben ist wie $$B = \left\{ \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 1\\ -1\end{pmatrix}\right \}$$dann ist die daraus gebildete Matrix$$\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$die Transformation von Koordinaten die im \(B\)-System gegeben sind, zum Standardsystem \(e\).

Wenn also \(S_{e,B}\) der Basiswechsel von \(e\) nach \(B\) wäre (man beachte den Konjunktiv!), dann ist das Inverse$$S_{B,e} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$und die Inverse Matrix wäre$$S_{e,B} = \left( S_{B,e} \right)^{-1} = \frac 12 \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo

von e nach B ist die übliche Schreibweise.

Gruß lul

Answer 3

Da musst Du den Autor fragen, der die Notation eingeführt hat. Das solltest Du nachlesen können?

Grundsätzlich beschreibt B  eine Basiswechselmatrix _eS_B von B nach e, ich verwende diese Notation, weil  beim Schreiben dann die entsprechenden Basenbezeichner aufeinander treffen - ich würde da S_B,e vermuten.

Dann wäre S_e,B = _BS_e = _eS_B^-1