Zeigen Sie, dass der Cosinus Hyperbolicus bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der Cosinus Hyperbolicus bijektiv von $$\mathbb{R_{>=0}}$$ nach $$[1,\infty)$$ abbildet und die Funktion cosh^-1 mit $$cosh^{-1}(x)=ln(x+ \sqrt{x^2-1})$$ die zugehörige Umkehrfunktion ist.

Problem/Ansatz:

Die Umkehrfunktion schaffe ich ja noch aber wie zeige ich dass es bijektiv ist?

Dafür muss ich ja zeigen dass es injektiv und surjektiv ist aber wie mache ich das?

Answer 1

Die Umkehrfunktion schaffe ich ja noch ...

Ich vermute das hast du mit Äquivalenzumformungen gezeigt. Das heißt du hast gezeigt

        \(\cosh x = y \iff x = \ln\left(y+\sqrt{y^2-1}\right)\quad\forall\,x\in[0,\infty)\).

Daraus folgt Bijektivität automatisch.

Answer 2

Die Ableitung von \(\cosh \) ist auf \((0,\infty)\) positiv. Damit ist die Funktion streng monoton wachsend auf \([0,\infty)\) und folglich injektiv.

Da \(\lim_{x\to\infty}\cosh x = \infty\), folgt mit dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, dass \(\cosh \) jeden Wert im Intervall \([1,\infty)\) annimmt, also surjektiv ist.

Comments

Kann ich das für den Tangens Hyperbolicus genauso argumentieren?

Zeigen Sie, dass der Tangens Hyperbolicus bijektiv von R_>=0 nach (-1,1) abbildet

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Du kannst sehr ähnlich argumentieren.

Der einzige wesentliche Unterschied ist, dass \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\tanh (x) = -1\) und \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\tanh (x) = 1\).

Die Bijektion liegt aber für gesamt \(\mathbb R\) nach \((-1,1)\) vor.