Analytische Funktion ist konstant, wenn Realteil konstant ist

Question

Aufgabe:

Es seien a ∈ R und f eine analytische Funktion auf einem Gebiet
(= offene, zusammenhängende Menge) G ⊂ C mit Re
f(z) = a für alle z ∈ G.
Zeigen Sie, dass f auf G konstant ist

Problem/Ansatz:

Mein Idee ist es gewesen diese Aussage über die Cauchy-Riemannschen DGLs zu beweisen. Ist dies so möglich, wenn ich annehme, dass f komplex differenzierbar ist?

Answer 1

Deine Idee ist vollkommen richtig.

Die Funktion f ist per Voraussetzung in G analytisch. D.h., dass f in jedem Punkt von G lokal in eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius entwickelbar ist.

Damit ist die Funktion aber holomorph, also in G komplex differenzierbar.

Somit sind die Cauchy-Riemann DGL erfüllt und es folgt, dass f'(z) = 0 auf G ist.