Zeigen Sie, dass \bar{f} genau dann holomorph auf U ist, wenn f konstant auf U ist.

Question

Hallo, ich schreibe morgen eine Klausur und bin mir nicht ganz sicher, ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe. Es wäre super lieb wenn sich das jemand anschauen könnte. Danke:)

Aufgabe 1 (2 Punkte)

Die Funktion \( f: U \rightarrow \mathbb{C} \) sei auf einenm offenen wegzusammenhängenden Gebiet \( U \subseteq \mathbb{C} \) holomorph. Zeigen Sie, dass \( \bar{f} \) genau dann holomorph auf \( U \) ist, wenn \( f \) konstant auf \( U \) ist.

Answer 1

Naja, schon ganz gut. Zu einem vollständigen Beweis fehlt noch:

1. Was ist \(u,v\)? Ist nicht erklärt (und gerade hier wichtig, weil man ja mit \(f\) und \(\bar f\) arbeitet).

2. Die Folgerung am Ende (ab "D.h. es ist...") ist unsauber aufgeschrieben. Leite erstmal sauber z.B. \(\frac{\partial v}{\partial x}=0\) her. Dann genauso für die anderen drei partiellen Ableitungen. Also nicht alles gleichzeitig.

3. Warum folgt "Abl. \(=0\)", dass \(f\) auf \(U\) konstant ist? Diese Begründung fehlt, und dazu braucht man eine bisher nicht genutzte (aber genannte) Voraussetzung (und einen Satz der Vorlesung).

Comments

Danke dir! Reicht es nicht zu sagen, dass u und v der Real- und Imaginärteil sind?

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Reicht es nicht zu sagen, dass u und v der Real- und Imaginärteil sind?

Zu 1.: Nein, Du musst schon sagen "Real- bzw. Imaginärteil" wovon. Es gibt hier ja zwei Möglichkeiten.

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Achso, ja das hatte ich ja geschrieben, von f

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Ok, das hast Du in der Hinrichtung geschrieben - da, wo man es gar nicht braucht. Denn "\(f\) konstant \(\implies\) \(\bar f\) konstant" ist trivial, da braucht man nichts mit Re und Im zu rechnen (und schon gar nicht mit z=x+iy).

Generell: Wenn Du Bezeichnungen einführst, die in beiden Beweisrichtungen gültig sein sollen, gehören die ganz oben drüber - bevor die beiden Beweisteile kommen. Man sollte jeden der beiden Beweisteile unabhängig voneinander lesen können.

Hier konkret, wie gesagt, in der Hinrichtung gar nicht nötig.