Was dort steht, ist tatsächlich etwas unsauber. Eigentlich müsste dort stehen:
\(f(z) = \frac{e^{z^{5}}-1}{z^{5}} \) = \( \frac{1}{z^{5}} \) · \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{k!}} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}} \color{blue}{\text{ für } z\neq 0} \quad (\star)\)
Es ist gut, dass du diese Unzulänglichkeit wahrgenommen hast.
Folgende Aussage von dir stimmt so nicht:
Müsste man nicht f(z) auf eine Laurent-Reihe umformen? Das wiederum geht wieder nur, wenn f(z) bereits holomorph ist.
Für eine isolierte Singularität \(z_0\) muss \(f(z)\) in einer Umgebung von \(z_0\) ohne \(z_0\) holomorph sein. Das ist hier gegeben. Die Laurent-Reihe um \(z_0\) ist dann eindeutig bestimmt und genau diese wird in \((\star)\) berechnet.
Offensichtlich stimmen \(f(z)\) und \(g(z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{5k}}{(k+1)!}}\) auf \(\mathbb C\setminus\{0\}\) überein. \(g\) ist aber holomorph. Damit hat \(f\) bei \(z_0=0\) eine hebbare Singularität.
Falls ihr schon den Riemannschen Hebbarkeitssatz hattet, kannst du auch so argumentieren:
\(f(z)\) ist für \(z\neq 0\) holomorph. Außerdem existiert \(\displaystyle \lim_{z\to 0}f(z)\). Damit ist \(f\) bei \(z_0=0\) beschränkt. Also ist die Singularität hebbar.
