Bestimmen ob Funktionen holomorph/meromorph sind und bestimmen von Singularitäten

Question

ich habe die vier Funktionen

f(z) = \( \frac{e^{z^{7}}-1}{z^{7}} \)

g(z) = \( \frac{e^{z^{7}}-1}{z^{9}} \)

m(z) = \( \frac{sin(z-3)}{(z-3)^{3}} \)

n(z) = \( \frac{sin(z)}{(z-3)^{3}} \)

Ich möchte bestimmen, ob diese holo- oder meromorph sind und ggf. Ordnungen der Pole bestimmen.

für f(z) habe ich f(z) =  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{z^{7k}}{(k+1)!}} \)

Das sollte holomorph sein und z=0 eine hebbare Singularität

g(z) ist so ähnlich doch hier stehe ich bei g(z) =  \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{7k-9}}{k!}} \)

Wie löst man das hier?

für m(z) habe ich m(z) =  \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(-1)^{k+1}\frac{(z-3)^{2k}}{(2k+2)!}} \)

Kann man das noch weiter umformen? Ich habe hier das Umformen beendet und meine m(z) ist meromorph und z=3 ist ein Pol von Ordnung 1

n(z) ist wieder ähnlich zu m(z) aber hier stehe wieder an

Ich habe n(z) umgeformt zu \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(-1)^{k+1}\frac{(z)^{2k}}{(2k+2)!}} \)

Dieser Term hat nun dieselbe Form wie m(z) und müsste meromorph sein und z=0 ein Pol von Ordnung 1, doch beim Kontrollieren mit einem Plotter zeigt sich, dass dies falsch ist.

Wie löst man das hier?

Comments

Schau dir mal die Klassifizierung isolierter Singularitäten an.

Du müsstest doch nun langsam selber merken, dass der Weg über die Laurent-Reihe sehr unpraktikabel sein kann.

Hier zwei kurze Beispiele ohne Laurent:

\(\displaystyle \lim_{z\to 3}\left((z-3)^2m(z)\right)\neq 0\Rightarrow\) Pol 2. Ordnung bei \(z=3\)

\(\displaystyle \lim_{z\to 3}\left((z-3)^3n(z)\right)\neq 0\Rightarrow\) Pol 3. Ordnung bei \(z=3\)

Answer 1

Hallo,

die erste Frage hast du richtig beantwortet.

Bei der 2. würde ich Deine Berechnung so angeben:

$$g(z)=z^{-2}+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}z^{7k-9}$$

Daran kann man ablesen, dass in dieser Laurent-Reihe -2 die kleinste Potenz ist, deren Koeffizient ungleich 0 ist. Daher ein Pol der Ordnung 2.

Dann

$$m(z)=(z-3)^{-3}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{2k+1}(z-3)^{2k+1}=(z-3)^{-2}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{2k+1}(z-3)^{2k-2}$$

Daher liegt ein Pol der Ordnung 2 vor.

Beinm letzten Beispiel musst Du eine Laurent-Entwicklung um den Punkt 3 machen. Tatsächlich brauchst du aber die Details gar nicht. Es reicht:

$$\sin(z)=\sin(3)+\sum_{k=1}a_k(z-3)^k$$

Und damit

$$n(z)=\sin(3)(z-3)^{-3}+\sum_{k=1}a_k(z-3)^{k-3}$$

Also liegt ein Pol der Ordnung 3 vor. Eventuell brauchst Du gar nicht über die Laurent-Reihe zu gehen. Es gibt auch elementare Sätze über Quotienten \(f(z)/g(z)\) und eventuelle Polstellen....

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Danke dir, Mathhilf

Answer 2

Aus g(z)l=f(z)/z^2 folgt mit deinem Ergebnis für f sofort, dass g in 0 einen Pol der Ordnung 2 hat.

Bei m sieht man sofort, dass die kleinste auftretende Potenz \((z-3)^{-2}\) ist, also Pol der Ordnung 2.

Bei n kann man sofort sehen, dass in 3 ein Pol der Ordnung 3 vorliegt. Begründung siehe gestern bei Deiner vorigen Frage bzw. vorgestern bei der vorvorigen Frage. Wie Du auf deine Reihenentwicklung kommst, weiß ich nicht. Was zu tun ist, ist ja schon erklärt worden.

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Vielen Dank, nudger