Prüfen ob Funktionen holomorph sind

Question

ich möchte gerne prüfen, ob folgende Funktionen holomorph sind:

(es gilt z = x + i y und z* = x - i y)

1:

f(z) = z* = x - i y

2:

f(z) = exp(z) = exp(x + i y)

3:

f(z) = cos(z) = cos(x + i y)

Dafür sollten die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen geeignet sein. Die Funktion muss jedoch in der Form f = u + i v gegeben sein.

Für 1 haben wir also die Funktion f(z) = x - i y. Dies hätte ich nun auf x + i (-1 · y) umgeformt.

Für die Differentialgleichungen wird nun u = x und v = -y verwendet. Hier bemerkt man, dass \( \frac{du}{dx} \) = 1 und \( \frac{dv}{dy} \) = -1 ist und diese nicht gleich sind und somit die Funktion nicht holomorph ist.

Stimmt diese Vorgangsweise hier?

Wie geht man bei 2 und 3 vor?

Answer 1

Ja, fur 1. stimmt das.

Für 2. verwende die Eulersche Formel.

Comments

Für 1, danke

Für 2:

Das hätte ich mir auch schon gedacht.

Hat man exp(x + i y) so kann man das aufteilen auf

cos(x + i y) + i sin(x + i y)

Das ist noch nicht die form f = u + i v da im sin noch der Imaginärteil enthalten. Das verwirrt mich hier in dem Schritt.

Des Weiteren könnte man exp ja auch auf eine Multiplikation aufteilen, aber das hat mich auch nicht weiter gebracht.

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Wieso bringt die Aufteilung als Produkt nicht weiter? Verwende die Eulersche Formel für \(e^{iy}\), dann steht doch \(u,v\) gleich da.

Und 3. kannst Du behandeln, indem Du es auf 2. zurückführst.

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Ja ok für 2 hatte ich

nun exp(x) · exp(i y)

Das exp(i y) = cos(y) + i sin(y)

Nun haben wir exp(x) · (cos(y) + i sin(y)) = cos(y) exp(x) + i sin(y) exp(x)

das ergibt nun \( \frac{du}{dx} \) = \( \frac{dv}{dy} \) = cos(y) exp(x)

und

\( \frac{dv}{dx} \) = - \( \frac{du}{dy} \) = sin(y) exp(x)

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Für 3 habe ich leider keinen Ansatz, wie ich das zurückführen kann auf 2.

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Dir scheint aber wirklich das elementare Rüstzeug zu fehlen.

\(\cos z =\frac12 (e^{iz}+e^{-iz})\)

wie Du fast überall nachlesen kannst, z.B. wikipedia.

Und das geht nun, mit 2., auch ohne CRD.

2. ist in Ordnung, es fehlt aber das Ergebnis Deiner Prüfung/Deines Beweises.

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Prinzpiell hätte ich \(\cos z =\frac12 (e^{iz}+e^{-iz})\) in Erwägung gezogen, doch

in meiner Literatur ist nur cos(x) = Re(exp(i x)) erwähnt und das war mir daher nicht klar.

Bei 2 habe doch die Ableitungen angegeben, welche gleich sein sollen und sie sind es. Daher ist 2 holomorph

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Bei habe doch die Ableitungen angegeben, welche gleich sein sollen und sie sind es. Daher ist 2 holomorph

Ja, ich weiß, aber dieses Ergebnis gehört zur vollständigen Lösung aufgeschrieben dazu.

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Achso.

Vielen Dank für die Hilfe!