ich möchte folgende Funktionen prüfen, ob diese in ℂ differenzierbar sind:
f(z) = (\( x^{4} \) + 3\( x^{2} \)\( y^{2} \) + 5 \( e^{x+y} \) ) + i (4\( x^{3} \)y + 2x\( y^{3} \) + 5\( e^{x+y} \))
g(z) = (3+4\( x^{3} \) - 21\( x^{2} \)y - 12x\( y^{2} \) + 7\( y^{3} \)) + i (7\( x^{3} \) + 12\( x^{2} \)y -21x\( y^{2} \) -4\( y^{3} \) -5)
Nach Definition gilt, dass eine Funktion h in allen Punkten differenzierbar ist, wenn gilt:
h(x)' = Limes w → z von \( \frac{h(w)-h(z)}{w-z} \) existiert.
wobei z = x + i y
Des Weiteren gibt es auch noch die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. Wenn h = u + i v mit u = Realteil und v = Imaginärteil. Wenn u und v als reelle Funktionen stetig differenzierbar sind und die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt sind, so ist h in ℂ differenzierbar.
also:
\( \frac{du}{dx} \) = \( \frac{dv}{dy} \)
und
\( \frac{dv}{dx} \) = - \( \frac{du}{dy} \)
Ich habe die letzte Methode gewählt, da sich f und g jeweils auf u + i v aufspalten lassen, wobei u und v jeweils stetig differenzierbar sein sollten.
Für f sind die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nicht erfüllt, für g schon.
Ist dies so richtig?
Wie prüft man dies mit der bloßen Definition?
