Sei f: R^n -> R^n gegeben durch
f(x) := <u_1, x> u_1 + … + <u_m, x> u_m und die Orthonormalbasis u_1,…,u_m von dem Unterraum U. Dieser Endomorphismus auf R^n nennt sich ja die ,,orthogonale Projektion‘‘. Das Symbol <•••> steht hier für das Skalarprodukt. Meine Frage: Ist f ein diagonalisierbarer Endomorphismus und warum sind 1 und 0 die einzigen Eigenwerte von f?
Meine Idee dazu:
Zuerst ist ja U = span(u_1,…,u_m) und
V := span(u_m+1,…,u_n), wobei V das orthogonale Komplement von U ist. Es gilt ja dann U (+) V = R^n. (U und V bilden die direkte Summe des R^n)
Dann gilt für alle u aus U: f(u) = 1 u
und für alle v aus V: f(v) = 0 v mit der Kroneckerdelta-Eigenschaft für Skalarprodukte von Orthonormalbasen.
Also ist 1 ein Eigenwert mit Eigenraum U und 0 ein Eigenwert mit Eigenraum V. D.h. der Eigenraum U des EW 1, hat Dimension m und der Eigenraum V des EW 0,hat Dimension n-m.
Da U (+) V = R^n ist, gilt also dim(U + V) = n.
Also finden wir zu dem Eigenwert 1,eine Basis von m-Eigenvektoren und zu dem Eigenwert 0, eine Basis von (n-m)-Eigenvektoren. Zusammen finden wir dann zu den beiden Eigenwerten eine Basis von n-Eigenvektoren vom R^n. Demnach muss f ja diagbar sein.
Also kann eine zufällige darstellende Matrix zu einer Basis des R^n mit einem Basiswechsel zu einer Diagonalmatrix überführt werden bzw. ist ähnlich zu der Diagonalmatrix. D.h. es gibt eine invertierbare Matrix T mit den Eigenvektoren als Spalten, sodass T^-1 A T = D ist, wobei A diese zufällige darstellende Matrix von f in einer Basis des R^n ist und D die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten 1 und 0 als Diagonaleinträge. Also wird f in dieser Basis durch die Diagonalmatrix D = diag(1,1,,,.1,0,…,0) dargestellt bzw. beschrieben. Somit ist das charakteristische Polynom gegeben als
p_f (t) = det(A-tE) = det(D-tE) = (1-t)^m (-t)^n-m
Dieses hat nur die Nullstellen 1 und 0 und somit hat f auch nur die Eigenwerte 1 und 0, da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ja die Eigenwerte sind.
Ist das richtig?
