Wie berechne ich die orthogonale Projektion auf den Bildraum und auf das orthogonale Komplement vom Bildraum?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich die orthogonale Projektion auf den Bildraum und auf das orthogonale Komplement vom Bildraum?

$$X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 &3\\ 1&4\\ 1&5\\ \end{pmatrix}$$

Comments

Hallo

da fehlen Angaben. Wer oder was wird wie abgebildet?

lul

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Wie berechne ich die orthogonale Projektion auf den Bildraum ...

so rein intutiv würde ich es über die Normalform machen. Das Ergebnis wäre die Abbildung \(A\)$$A= X\cdot \left(X^TX\right)^{-1} \cdot X^T \\\phantom{A}= \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6&4&2&0&-2\\ 4&3&2&1&0\\ 2&2&2&2&2\\ 0&1&2&3&4\\ -2&0&2&4&6 \end{pmatrix}$$

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$$\text{Die komplette Aufgabenstellung lautet: Gegeben seien die Modellgleichungen} \quad y_{i} = \beta_{0}+\beta_{1}*x_{i}+e_{i}, \quad i =1,...,5 \\ X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2  \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \text{Bestimme die orthogonale Projektion auf den Bildraum R(X) sowie auf das orthogonale Komplement von R(X)}$$

Das Thema ist das allgemeine lineare Modell.