Aloha :)
Die Ebenengleichung für \(E(XYZ)\) kannst du sofort hinschreiben:$$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1\quad\stackrel{\cdot6}{\implies}\quad 3x+2y+6z=6$$
Jetzt ziehst du vom Punkt \(Q\) zu einem beliebigen Punkt der Ebene, etwa zum Punkt \(X\), einen Vektor$$\overrightarrow{QX}=\vec x-\vec q=\begin{pmatrix}2-2\\0-3\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}$$Diesen Vektor projezierst du nun auf den Normalenvekor \(\vec n\) der Ebene:
$$\overrightarrow{QX}_\parallel=\frac{\left(\overrightarrow{QX}\cdot\vec n\right)}{\vec n^2}\,\vec n=\frac{\left(\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\right)}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}=-\frac{12}{49}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$$
Der Lotfußpunkt der orthogonalen Projektion in der Ebene ist daher:
$$\vec q_\perp=\vec q+\overrightarrow{QX}_\parallel=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\frac{12}{49}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$$
