Orthogonale Projektion auf Vektorraum

Question

ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:

Ich verstehe die Theorie, bloß habe ich nur Beispiele mit einer 3x3 Matrix durchgenommen. 

Grüße

Answer 1

Das Bild ist der von den Spalten von A erzeugte Unterraum, also bilden die Spalten u und w  von A,

da sie lin. unabh. sind, eine Basis von B.  Wenn p_B nun die ges. Projektion ist,

dann ist  für jedes v aus IR^4 das  Bild, also p_B (v),  in B liegt, ist es also mit der Basis darstellbar in der

Form   p_B (v) = a*u + b*w   = ( a , a-b, b , -a )   #

Da es ein ORTHOGONALproj. ist, muss p_B (v) - v orthogonal zu jedem Basisvektor von B sein, also

gilt für alle v aus IR^4     ( p_B (v) - v) * u = 0 und   ( p_B (v) - v) * u = 0  

wenn man nun v = (x1,x2,x3,x4)^T und   #   einsetzt gibt das 

         (  a - x1 , a-b-x2 , b -x3 , -a-x4 )^T * ( 1 , 1 ,0, -1 )^T = 0   und

            (  a - x1 , a-b-x2 , b -x3 , -a-x4 )^T * ( 0 , -1 ,1, 0 )^T = 0

das sind zwei Gleichungen, mit denen man a und b bestimmen kann.

Ich bekomme da  a = 0,4x1 +0,2x2+0,2x3-0,4x4 und

b = 0,2x1 -0,4x2 +0,6x3 -0,2x4

und das nun bei # eingesetzt gibt

p_B (x1,x2,x3,x4)=

( 0,4x1 +0,2x2+0,2x3-0,4x4  ;  0,2x1+0,6x2-0,4x3-0,2x4  ;

           0,2x1 -0,4x2 +0,6x3 -0,2x4  ; - 0,4x1 -0,2x2-0,2x3+0,4x4)

besser in Matrixschreibweise  M * (x1,x2,x3,x4)^T mit  M =

0,4    0,2     0,2     -0,4 
0,2     0,6    -0,4    -0,2
0,2    -0,4     0.6     -0,2
-0,4   -0,2    -0,2    0,4

dann wäre M * ( 5;5;5;5)^T ja wohl = ( 2;1;1;-2)^T

wird ganz schön dargestellt bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Darstellung_2

Comments

Eine Frage hätte ich da, ist mit der Basis von B die Basis vom Bild (A) gemeint?

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genau , die ist gemeint.

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Achso ok, wäre es vielleicht möglich kurz aufzuschreiben, was die Variablen u, w, v und pB(v) beschreiben? Und die Matrix M ist dann die Lösung von der Teilaufgabe a, oder? Ich will nur sicher gehen, dass ich nichts falsch verstanden habe

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Wie kommt man eigentlich darauf, dass man sich hierbei im vierdimensionalen Raum befindet? Oder ist das irgendwie versteckt in der Aufgabe mit angegeben?

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Könntest du vielleicht auch zeigen, wie man beim Skalarprodukt (pB(v)-v)*u =0 und  (pB(v)-v)*w =0 auf die Werte von a und b kommt? Bei mir kommt nämlich folgendes raus:

a= 2* ((-2x2+3x3-x4)/5) +x2 -x3 und b = ((-2x2+3x3-x4)/5)