Das Bild ist der von den Spalten von A erzeugte Unterraum, also bilden die Spalten u und w von A,
da sie lin. unabh. sind, eine Basis von B. Wenn pB nun die ges. Projektion ist,
dann ist für jedes v aus IR^4 das Bild, also pB (v), in B liegt, ist es also mit der Basis darstellbar in der
Form pB (v) = a*u + b*w = ( a , a-b, b , -a ) #
Da es ein ORTHOGONALproj. ist, muss pB (v) - v orthogonal zu jedem Basisvektor von B sein, also
gilt für alle v aus IR^4 ( pB (v) - v) * u = 0 und ( pB (v) - v) * u = 0
wenn man nun v = (x1,x2,x3,x4)^T und # einsetzt gibt das
( a - x1 , a-b-x2 , b -x3 , -a-x4 )^T * ( 1 , 1 ,0, -1 )^T = 0 und
( a - x1 , a-b-x2 , b -x3 , -a-x4 )^T * ( 0 , -1 ,1, 0 )^T = 0
das sind zwei Gleichungen, mit denen man a und b bestimmen kann.
Ich bekomme da a = 0,4x1 +0,2x2+0,2x3-0,4x4 und
b = 0,2x1 -0,4x2 +0,6x3 -0,2x4
und das nun bei # eingesetzt gibt
pB (x1,x2,x3,x4)=
( 0,4x1 +0,2x2+0,2x3-0,4x4 ; 0,2x1+0,6x2-0,4x3-0,2x4 ;
0,2x1 -0,4x2 +0,6x3 -0,2x4 ; - 0,4x1 -0,2x2-0,2x3+0,4x4)
besser in Matrixschreibweise M * (x1,x2,x3,x4)^T mit M =
0,4 0,2 0,2 -0,4
0,2 0,6 -0,4 -0,2
0,2 -0,4 0.6 -0,2
-0,4 -0,2 -0,2 0,4
dann wäre M * ( 5;5;5;5)^T ja wohl = ( 2;1;1;-2)^T
wird ganz schön dargestellt bei
https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Darstellung_2
