Funktion in Punkt in Laurentreihe entwickeln \frac{1}{z^{2}·(z+3)^{4}}

Question

Guten Tag

ich möchte die Funktion f(z) = \( \frac{1}{z^{2}·(z+3)^{4}} \) in z₀ = -3  (z ∈ ℂ) in eine Laurentreihe entwickeln und Singularitäten erkennen.

Ich habe hier leider überhaupt keinen Ansatz. Wie geht man hier vor?

Comments

Warum hilft dir die Antwort zu deiner anderen Frage nicht?https://www.mathelounge.de/1081791/funktion-laurentreihe-entwickeln-singularitaten-ablesen

lul

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Weil er/sie drei Fragen auf einmal dazu gestellt hat und meine Antwort zu der einen davon noch nicht so lange da steht. Muss erstmal verarbeitet werden.

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Also mein Ansatz wäre gewesen,

die Laurentreihe von der Funktion

\( \frac{1}{(z-3+3)^{2}(z+3-3+3)^{4}} \)

zu finden?

Das wäre dann:

\( \frac{1}{(3(1+\frac{z-3}{3}))^{2}} \)\( \frac{1}{(3(1+\frac{z+3-3}{3}))^{4}} \)

Mir scheint dies nicht richtig. Außerdem wissen wir nicht im Gegensatz zu der anderen Fragestellung, dass wir jeweils \( \frac{z-3}{3} \) und \( \frac{z+3-3}{3} \) mit < |1| abschätzen können, was ja für die geometrische Reihe benötigt wird.

Was mache ich hier falsch?

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Es geht um Potenzen welchen Ausdrucks (siehe vorige Frage)? Und wieso |1|?

Answer 1

Ich schreibe mal diesen Hinweis als Antwort.

Um Singularitäten zu erkennen, brauchst du die gegebene Funktion nicht in eine Laurentreihe um \(z_0 = -3\) entwickeln. Offensichtlich gilt

$$\lim_{z\to -3}\left((z+3)^{\color{blue}4}f(z)\right)= \lim_{z\to -3}\frac 1{z^2}\neq 0$$

Damit hat \(f\) bei \(z_0 = -3\) einen Pol der Ordnung \({\color{blue}4}\).

Mach dir klar, dass \((z+3)^4f(z)\) bei \(z=-3\) eine hebbare Singularität hat und daher um \(z=-3\) holomorph ist.

Answer 2

Aus dem gestern gelernten (vorige Frage) weißt Du schon, dass es um Potenzen von (z+3) geht und dass die Singularität -3 ein Pol der Ordnung 4 ist. Das gibt Dir schon eine Vorstellung, wie die LR am Ende aussehen muss und was noch zu tun ist.

Comments

Wie forme ich dies hier entsprechend nun um? Beim vorigen Beispiel hatten wir ja keinen konkreten Entwicklungspunkt, sondern einen Bereich

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Auch beim vorigen Beispiel gab es einen Entwicklungspunkt. Schau dir das nochmal genau an. Insb. die Bemerkungen am Ende. Danach(!) , also wenn Du das wirklich verstanden hast, lass hören, was hier noch zu tun bleibt. Wie man das dann konkret macht, ist eine andere Frage.

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Ja also zunächst müssen alles auf Potenzen von z+3

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\( \frac{1}{(z+3-3)^{2}(z+3)^{4}} \)

Das wäre doch der Ansatz

Des Weiteren finde ich die Potenzen also 2 und 4 verwirrend

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Nachdem(!) Du das grundlegende verstanden hast. Also erkläre präzise, woran man sofort die Singularität und ihre Ordnung erkennt und was das konkret bedeutet was noch zu tun ist.

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Da unsere Singularität die Ordnung 4 hat wird die Laurentreihe dann bei k=-4 beginnen oder etwa nicht

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Dir fehlt das Verständnis. Ich hab dir gestern erklärt wie man das sofort erkennt. Lies nach.

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Um eine Reihe für 1/z^2 zu bekommen, kannst du eine für 1/z nehmen und diese ableiten. Weiß aber nicht, ob das sinnvoll ist, wenn Du nicht weißt was Du warum tust.

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Ich erkenne leider den Zusammenhang gar nicht.

Also in der anderen Fragestellung war 3 unser Entwicklungspunkt.

Wir haben alle z auf Potenzen von z-3 umgeformt

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Somit müsste ich doch nur das \( z^{2} \) auf eine Potenz von z+3 umformen oder nicht?

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Gleiche Aufgabe mit andersm Entwicklungspunkt. Nochmal: arbeite die vorige Lösung gründlich(!) durch, bis du es 100%ug verstanden hast. Danach(!!!) geht es an diese Aufgabe. Es macht ja keinen Sinn, dass ich alles nochmal erkläre. Also: jetzt ran an die vorige Frage.

Ja, nur z^2. Du hast nun alle Hilfe und Tipps, die du brauchst. Lies sie und mach nun die Aufgabe fertig und zeige deine Lösung (Rechnung mit Erklärungen).