Funktion im Gebiet in Laurentreihe entwickeln und Singularitäten ablesen

Question

Guten Tag

ich habe die Funktion f: ℂ → ℂ mit f(z) = \( \frac{z}{(z+1)(z-3)} \) und das Gebiet A = {z ∈ ℂ : 0 < |z - 3| < 4}

Ich möchte die Funktion f(z) im Gebiet A in eine Laurentreihe entwickeln und Singularitäten ablesen.

Das Gebiet hat den Mittelpunkt 3, Radius1 = 0 und Radius2 = 4.

Mir fehlt die Idee, wie ich das löse.

Comments

Nur als kurzer Hinweis:

Wenn du Partialbruchzerlegung machst, erhältst du

\(\frac{z}{(z+1)(z-3)}= \underbrace{\frac 14 \frac 1{z+1}}_{g(z)} + \underbrace{\frac 34\frac 1{z-3}}_{h(z)}\)

Um von der Laurent-Reihe um \(z_0=3\) die Singularität abzulesen, brauchst du nur ihren Hauptteil. Da \(g\) auf \(A\cup \{3\}\) holomorph ist, kann \(g\) nicht zum Hauptteil beitragen.

Daher ist der Hauptteil \(h(z)=\frac 34\frac 1{z-3}\).

Answer 1

Du musst also alles auf Potenzen von (z-3) umschreiben.

Im Zähler: z = z-3 + 3 (auf zwei Summen aufteilen)

Im Nenner stets mit geom. Reihe arbeiten: \(z+1=4+z-3=4(1+\frac{z-3}4)\) und da siehst Du auch schon die 4 aus der Aufgabenstellung.

Nun alles einsetzen und zusammenfassen.

Comments

also f(z) = \( \frac{z-3+3}{(z-3+4)(z-3)} \) = \( \frac{z-3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \)+ \( \frac{3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \)

?

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Ja. Beim ersten Summanden noch kürzen. Und dann die geom. Reihe einsetzen, Faktoren einbauen, zusammenfassen, fertig.

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Für den ersten Summanden habe ich nun:

\( \frac{z-3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \) = \( \frac{z-3}{z-3} \)\( \frac{1}{4(1+\frac{z-3}{4})} \)=\( \frac{1}{4} \)\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-k}} \)

bleibt noch \( \frac{3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \)

muss dieser Summand auch noch umgeformt werden oder muss einfach nur +3 zum ersten Summanden(Reihe) addiert werden?

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Soweit gut.
Der zweite Summand ist ja der erste mal 3 und dann noch mal 1/(z-3), was nur den Exponenten bei der Potenz um 1 vermindert.
Dann beide zusammenfassen (Indexverschiebung nötig), fertig.

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ok dann habe ich nun

Summand 1:

\( \frac{z-3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \) = \( \frac{z-3}{z-3} \)\( \frac{1}{4(1+\frac{z-3}{4})} \)=\( \frac{1}{4} \)\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-k}} \)

Summand 2:

\( \frac{3}{4(1+\frac{z-3}{4})(z-3)} \) = \( \frac{3}{4(z-3)} \) \( \frac{1}{1+\frac{z-3}{4}} \) = \( \frac{1}{4} \)\( \frac{3}{-(3-z)} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-k}} \) =

\( \frac{-3}{4} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k-1}4^{-k}} \) = \( \frac{-3}{4} \) \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-(k+1)}} \)

Somit haben wir dann:

\( \frac{1}{4} \)\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-k}} \) + \( \frac{-3}{4} \) \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-(k+1)}} \)

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Gut. Könnte man noch in einer Reihe zusammenfassen. Die Singularität kann man aber auch so schon erkennen.

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Mit der Art der Singularität bin ich mir nun unsicher.

Hier ist für \( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-k}} \)  z=3 eine hebbare Singularität oder?

Die Reihe des zweiten Summanden beginnt bei k=-1

\( \frac{-3}{4} \) \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(3-z)^{k}4^{-(k+1)}} \)

Dann wäre z=3  doch ein Pol oder nicht?

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Genau, -3 ist ein Pol erster Ordnung von f (man muss ja beide Summanden zusammengefasst denken).

Kann man übrigens direkt sehen, denn z/(z+1) ist ja holomorph auf A.

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D.h fürs Zusammenfassen der Summen

müsste ich den ersten Summanden auf \( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(3-z)^{k+1}4^{-(k+1)}} \) bringen

und dann mit den zweiten verrechnen, also

  \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{\frac{(3-z)^{k+1}4^{-(k+1)}}{4}-\frac{3·(3-z)^{k}4^{-(k+1)}}{4}} \)

Ich nehme an, dass man dann richtig herausheben kann, sodass eine Reihe der Form \( \sum\limits_{k=-1}^{\infty}{(3-z)^{k}·a^{-(k+1)}} \) übrig bleibt und man hier dann erkennt, dass es ein Pol der Ordnung 1 ist.

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Ich meinte natürlich z=3 ist ein Pol.

Du kannst die Reihen einfach zusammenfassen, wenn beide (z-3)^k haben. Das hattest Du ja schon. Musst nur den Summanden für k=-1 separat nehmen. Dann hast Du diesen einen Summanden plus eine Taylorreihe, also Pol erster Ordnung.

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also \( \frac{-3}{4(3-z)} \) + \( \frac{1}{4} \) \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}(4^{-k-1}-\frac{3}{4}4^{-k-1})} \)

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Ja genau, aber da kann man noch mehr zusammenfassen.

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\( \frac{-3}{4(3-z)} \) +  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(3-z)^{k}(4^{-k-3})} \)

Mir ist jedoch unklar, warum das nun einen Pol kennzeichnet.

Laurentreihen lassen sich ja in einen Haupt- und einen Nebenteil aufteilen.

Der Hauptteil hat bei der Summe alle negativen Laufindizes bzw. Exponenten und der Nebenteil die positiven.

Nun haben wir links eine Summanden und rechts eine Reihe mit positiven Laufindizes bzw Exponenten.

Jetzt ist es doch wieder eine hebbare Singularität für z=3, aber wir haben ja schon gesagt, es ist ein Pol

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Der einzelne Summand links ist doch die Summe mit dem negativen Indices.

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Aja stimmt. Also es gab praktisch nur ein Glied bei der Reihe mit den negativen Indizes.

Also das ist der Pol, ja, das verstehe ich nun.

Für hebbare Singularitäten, müsste der Hauptteil verschwinden, das tut er nicht.

Für wesentliche Singularitäten, müsste der Hauptteil unendlich viele Glieder besitzen, das hat er nicht.

Für Pole muss er endlich viele haben, das hat er

Deshalb ist es nun ein Pol.

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Genauso isses - alles richtig gesagt.

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Vielen Dank. Habe leider im Moment nicht bedacht, dass wir den Haupteil als Summe der Elemente schon da stehen hatten.

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Macht nichts, Hauptsache Du lernst immer was dazu.