Folge Konvergenz + limes

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie die Folge (a_n) n e N für die folgenden Beispiele auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls den Grenzwert.

\( a_{n}=\left(\frac{n^{3}+5 n-1}{2 n^{4}-n}\right)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Ich bin erstmal hergegangen und habe die Funktion mit Hilfe der E-funktion und des ln umgewandelt.

Dabei kam dann heraus: lim e ^ n * ln((n³+5n-1)/(2n^4-n))

Das wollte ich dann vereinfachen, aber ich kam auf keinen sinnvollen Wert im ln, mit dem ich weiterrechnen kann.

Ich freue mich über jede Hilfe

Text erkannt:

\( a_{n}=\left(\frac{n^{3}+5 n-1}{2 n^{4}-n}\right)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

Der Nennergrad ist höher als der Zählergrad -> der Bruch geht gegn 0 für n->oo

Damit geht der gesamte Term gegen Null für n ->oo

Kürze den Bruch mit n^3 oder n^4. Damit lässt sich das formal zeigen. Hier kann man den Grenzwert deswegen auch sofort erkennen.

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. :)

Answer 2

Bereits die Folge \( b_{n}=\frac{n^{3}+5 n-1}{2 n^{4}-n}\)  ist eine Nullfolge. Der Exponent n beschleunigt das noch.

Answer 3

Deine Umformung ist doch okay - außer dass \(\lim\) da nichts zu suchen hat. Das geht erst, wenn die Konvergenz geklärt ist.

Der Exponent geht nun gegen "\(\infty\cdot -\infty\)", womit die ursprüngliche Folge gegen \(0\) geht.