Rätsel zur Darstellung der Zahl 9 als Bruch

Question

Die Zahl 9 soll als Bruch dargestellt werden

a) in dem alle Zahlen von 1 bis 9 vorkommen (jede muss genau einmal vorkommen)

b) auch die Null zusätzlich vorkommt

Problem/Ansatz:

Knobelnaufgabe bzw. Wie löst man das systematisch?

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95742/10638=9

:-)

Answer 1

Ein paar Überlegungen: Die Summe aller Ziffern ist durch 9 teilbar. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Daraus folgt, dass sowohl Zähler als auch Nenner durch 9 teilbar sein müssen. Weiterhin müssen im Zähler 5 Ziffern stehen und im Nenner 4 Ziffern. Warum eine andere Aufteilung nicht möglich ist, kann man sich ja leicht überlegen.

Wenn man jetzt also systematisch vorgehen will, muss man nur darauf achten, dass die Summe der Ziffern durch 9 teilbar ist.

Teil b) ist tatsächlich einfacher, weil man da schon weiß, dass der Zähler mit 9 beginnen und der Nenner mit 10 beginnen muss. Damit sind 3 Ziffern bereits weg. Die Verteilung der Ziffern muss hier 5 zu 5 sein. Wenn man Teil b) geschafft hat, kommt man durch geschickte Umsortierung der Ziffern in Zähler und Nenner sofort auf die Lösung von a).

Mögliche Lösungen stehen hier in weißer Schrift, um den anderen nicht den Spaß zu verderben.

a) 57429/6381

b) 95742/10638

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dass die Summe der Ziffern immer 9 ergibt.

Dass sie durch 9 teilbar ist.

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Natürlich, danke. Ist korrigiert. :)

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Der Zähler muss durch 81 teilbar sein.

b)

Da der Nenner mit 10 beginnen muss und seine Quersumme durch 9 teilbar sein muss, bleibt für die restlichen drei Ziffern die Summe 17. (8 und 26 gehen nicht.)

Da 0, 1 und 9 weg sind, müssen die 8 oder die 7 als größte Ziffern vorkommen.

8+(a+b)=17 → a+b=9

Wenn die 8 vorkommt, muss der Nenner mit 8 enden.

--> 10ab8

7+(x+y)=17 → x+y=10

...

Answer 2

b)

\(\displaystyle \frac{9 }{1+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 0} = 9\)

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Gute Idee, aber etwas banal. Ich denke aber, dass es konkrete Zahlen sein sollen ohne dass sie durch Rechnung entstehen.

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Wenn Du das denkst, dann solltest Du es auch schreiben.

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Die Aufgabe stammt nicht von mir. Vlt. hat der Autor das vergessen zu erwähnen.

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Die Aufgabe stammt nicht von mir. Vlt. hat der Autor das vergessen zu erwähnen.

Du hast vergessen, die Quelle anzugeben, was man anständigerweise ja mal machen kann.

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Sie stammt von einem älteren Abrisskalender (war im Sonderangebot).

Mir ging es um systematische Rechenwege.

Inzwischen habe ich per KI 6 Lösungen ermittelt. Alle nur Brüche aus Zahlen.

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Wenn wir in der 7./8. Klasse von einem Bruch sprechen meint man in erster Linie einen Bruchstrich auf dem im Zähler eine ganze Zahl und im Nenner eine natürliche Zahl (ohne Null steht.)

Was döschwö da aufgeschrieben hat, wird streng gesehen eher als Bruchterm bezeichnet.

Übrigens steht hier in einem Mathebuch vor mir, man soll 1,2 als Bruch schreiben. Ob die da wohl 1,2/1 oder 2,4/2 meinen? Wohl eher nicht, oder?

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Übrigens steht hier in einem Mathebuch vor mir, man soll 1,2 als Bruch schreiben.

Wohl als maximal gekürzten Bruch.

1,2= 12/10 = 6/5

Unter welchem Ober/Unter-Thema steht das dort?

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Wenn wir in der 7./8. Klasse von einem Bruch sprechen

Ich gehe davon aus, ggT22 ist schon diesseits dieser Altersgruppe.

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in dem alle Zahlen von 1 bis 9 [sowie 0] vorkommen

Wenn wirklich Zahlen gemeint sind, hat döschwo recht. Wenn Ziffern gemeint sind und Zähler und Nenner jeweils eine Zahl sein sollen, sieht es anders aus.

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Die Suchmaschine meines Vertrauens hat mir verraten, das Problem würde in Fibonaccis Liber Abaci von 1202 A. D. vorkommen.

Die Programmiersprache meines Vertrauens hat mir die jeweils drei Lösungen verraten:

a)

57429 : 6381 = 9
58239 : 6471 = 9
75249 : 8361 = 9              siehe auch hier beim Kehrwert

b)

95742 : 10638 = 9
95823 : 10647 = 9
97524 : 10836 = 9

Answer 3

Knobelnaufgabe bzw. Wie löst man das systematisch?

Nehmen wir mal denn möglichen Fall an, das Rätsel a) ist so gemeint:

$$9=\dfrac{\textrm{ABCDE}}{\phantom{A}\textrm{FGHI}}$$Dabei sollen die angegebenen Buchstaben jeweils für paarweise verschiedene Ziffern ungleich 0 stehen.

systematische Überlegung 1:
Der Zähler muss durch 9 teilbar sein.

systematische Überlegung 2:
Daher muss die Summe der Zählerziffern (Quersumme) 18 oder 27 betragen.

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systematische Überlegung 3:
Da die Summe der erlaubten Ziffern 1+...+9 = 45 beträgt und daher auch durch 9 teilbar ist, muss die Ziffernsumme des Nenners entweder 45-18=27 oder 45-27=18 betragen.