Asymptotisches Verhalten - Aussagen beweisen

Question

Ich habe folgende Aufgabe bekommen.

$$\text{ Sei k}\in\mathbb{N}\text{. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.}$$

$$\text{ (i) Für a > 1 gilt } \lim\limits_{x\to\infty} \frac{a^{x}}{x^{k}} = \infty.$$

$$\text{ (ii) Für 0 < a < 1 gilt } \lim\limits_{x\to\infty} a^{x}\cdot x^{k} = 0.$$

Könnte mir jemand bei dem Lösen der Aufgaben helfen?

Ich bin ein wenig überfragt.

Vielen Dank und viele Grüße :)

Answer 1

\(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{a^{x}}{x^{k}} \) ist der Grenzwerttyp \( \frac{\infty}{\infty} \)

Wenn du k-mal D'Hospital anwendest, hast du es.

(ii) Dann ist 1/a größer als 1 und mit (i) bekommst du

\(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{ (\frac{1}{a})^{x}}{x^{k}} = \infty \)    also \(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{ 1}{a^x x^{k}} = \infty \)

also der Kehrwert gegen 0.

Comments

Vielen Dank! :)