Zeigen Sie, dass es a, b ∈ C gibt, so dass f(z) = a*z+b für alle z ∈ C.

Question

Ich sitze gerade an einer Aufgabe aus einer Mathematik Staatsexamensklausur und komme nicht wirklich voran.

Aufgabenstellung:

Es sei f eine ganze Funktion mit der Eigenschaft, dass für alle z ∈ C mit |z| > 3 gilt, dass |f'(z)| ≤ 1+ e^-|z| . Zeigen Sie, dass es a, b ∈ C gibt, so dass f(z) = a*z+b für alle z ∈ C.

Mein Ansatz wäre:

Wegen f eine ganze Funktion können wir F als eine Potenzreihe um z0 = 0 entwickeln.

also f(z) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n * z^n} \) = a0 + a1*z + a2*z^2 + ...

es folgt, f'(z) = a1 + 2*a2 + ...

Es soll aber auch gelten, f(z) = a*z + b woraus folgen würde f'(z) = a.

Ein Koeffizientenvergleich würde a0 := b und a1 := a liefern. Insbesondere liefert der Vergleich a_i = 0 für alle i > 1.

Es verwirrt mich aber, dass hier die Abschätzung nicht verwender werden muss.

Danke für die Hilfe im Voraus.

Comments

Deine Ideen im Kommentar unten sind gar nicht so verkehrt. Du musst sie nur auf f' statt f anwenden:

Wenn f eine ganze Funktion ist, dann auch f'.

f' ist auf dem kompakten Ball \( B_3(0) \) sicherlich beschränkt, da die stetige Funktion |f'| auf dem Kompaktum ein Maximum annimmt.

Weiter ist f' nach Voraussetzung auf \( B_3(0)^c \) beschränkt.

Somit auf ganz \( \mathbb C \) und nach Liouville ist dann \( f' \equiv a \) konstant.

f ist nun eine Stammfunktion von f'. Betrachte deshalb die Kurvenintegrale anhand der direkten Verbindungslinie von 0 nach z.

$$ \int_0^z f'(z) ~\textrm dz = f(z) - f(0) $$

Außerdem

$$ \int_0^z f'(z) ~\textrm dz = \int_0^z a ~\textrm dz =za $$

Es folgt

$$ f(z) = az + \underbrace{f(0)}_{=:b} \quad \forall z \in \mathbb C $$

Answer 1

Ein Koeffizientenvergleich würde a0 := b und a1 := a liefern. Insbesondere liefert der Vergleich a_i = 0 für alle i > 1.

Du hast damit gezeigt:

Wenn es a, b ∈ ℂ mit f(z) = a·z + b gibt, dann ist a₀ = b und a₁ = a und a_i = 0 für alle i > 1.

Du hättest zeigen sollen:

Es gibt a, b ∈ ℂ mit f(z) = a·z + b.

Comments

Vielen Dank, ein weiterer Ansatz wäre:

Wir wissen f ganze Funktion, also stetig. Betrachte den abgeschlossenen Ball B um die 0 mit Radius 3. Dann ist f für alle z aus B beschränkt.

Ziel nun: Zeige f ist auf ganz C beschränkt, dann folgt mit dem Satz von Liouville, dass f konstant ist und somit a = 0 und b konstante existieren.

Jedoch habe ich Probleme damit, zu zeige, dass f auch außerhalb von B beschränkt ist.

Was hältst du von dieser Idee?

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Wenn f konstant ist, dann besitzt es aber nicht die gewünschte Form f(x)=ax+b

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Doch, weil \(0\in\mathbb{C}\).

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right, war falsch

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Ziel nun: Zeige f ist auf ganz C beschränkt

Die Funktion f(z) = z erfüllt |f'(z)| ≤ 1+ e^-|z|, ist aber nicht beschränkt.

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Gibt es dann andere Ideen? :)

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f' ist beschränkt und ganz.

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Vielen Dank, ich glaube ich habs :D