Sei \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetig differenzierbare Funktion mit \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \in[0,1] \). Wir rotieren die Menge zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \)-Achse, um die \( x \)-Achse, die so entstandene Teilmenge des \( \mathbb{R}^{3} \) bezeichnen wir mit \( A \). Die Menge in \( \mathbb{R}^{2} \) zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \)-Achse bezeichnen wir mit \( B \).
(a) Wir vergrößern die Menge \( B \) zentral um \( (0,0) \) mit Faktor \( r>0 \), d.h., wir betrachten die Menge \( r B:=\{(r x, r y) \) : \( (x, y) \in B\} \). Beweisen Sie:
Flächeninhalt von \( r B=r^{2} \cdot \) Flächeninhalt von \( B, \quad \) Umfang von \( r B=r \cdot \) Umfang von \( B \).
(Achtung: Der Umfang hier ist die Summe der Längen aller einschließenden Kurven.)
(b) Wir vergrößern die Menge \( A \) zentral um \( (0,0,0) \) mit Faktor \( r>0 \), d.h., wir betrachten die Menge \( r A \) := \( \{(r x, r y, r z):(x, y, z) \in A\} \). Beweisen Sie:
Oberfläche von \( r A=r^{2} \). Oberfläche von \( A, \quad \) Volumen von \( r A=r^{3} \cdot \) Volumen von \( A \).
(Achtung: Die Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte aller einschließenden Flächen.)
Hinweis: Finden Sie zunächst eine geeignete Funktion \( g \) welche zu den Mengen \( r \) A und \( r B \), analog wie \( f \) zu A und zu B, gehört.
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht genau welche Hilfsfunktion ich nutzen kann um dies zu beweisen. Müsste ich dann aber einfach mit der Definition und Formeln für Roationskörper arbeiten?
