Teilmenge des R2 auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit

Question

Aufgabe:

Untersuche die folgende Teilmenge des R2 auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit

\( M_{2}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|y| \leq\left|\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|, x>0\right\} \cup\{(0, y):|y| \leq 1\} \)

Hat da Jemand eine Ahnung, wie man M2 auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit prüft?

Comments

Beide Mengen sind beschränkt, damit ist auch die Vereinigung beschränkt. Spontan würde ich sagen, die Menge ist abgeschlossen. Denn angenommen du wählst eine Konvergent Folge in der Menge, dann erfüllt der Grenzwert die entsprechende Ungleichungen. Das einzige Problem besteht bei der Abschätzung x>0. Da ist es aber so, daß für eine Folge gegen 0 auch der Grenzwert wieder in der zweiten Menge und damit in der Vereinigung liegt.