R^2 auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit.

Question

kann mir hier einer helfen? Ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll.

Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen des ℝ² auf Beschränktheit, Offenheit und Abgeschlossenheit.

M:= { (x,y) ∈ ℝ² : I x-y I < 1, x > 0 }

Vielen Dank für die Hilfe :) !!

Answer 1

Beschränktheit:  Wäre M beschränkt, dann gäbe es ein c ∈ ℝ mit

|z| < c gilt für alle z ∈ M.

Und für z = (x,y) ∈ ℝ^2 ist ja |z| = √ (x^2 + y^2 ).

Wenn du also etwa für alle x>0 die Paare   z =  ( x ,  x+1/2 ) betrachtest, dann gilt

für diese  | x - (x+1/2) | = | 1/2 | = 1/2 < 1 , sie sind also alle in M.

Andererseits gilt aber

|z| = √ ( x^2 + (x+1/2)^2 ) = √ (2x^2 + x + 1/4 )

> √ (2x^2 )  > x * √2   > x .

Also gibt es kein c mit |z| < c gilt für alle z ∈ M.

Comments

Danke für deine Hilfe :)